'98 선형대수학 OCU 2장 2절

웹노트(LA Web Note)

 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) 의 Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.

OCU 2장 2절

1.6 연립일차방정식의 해와 행렬

  OCU 제 2 장 2절 은 교재의 1장 6절 입니다. 이 절에서는 행렬의 가역성과 연립장정식의 해 사이의 관계를 알아보고 동차연립방정식에 대하여 살펴봅니다.  

 정리 1.8 n차의 정사각행렬 A가 가역이고 B가 n×1 행렬일 때, 연립방정식 AX=B는 유일해 X=A^-1B를 갖는다.

[증명]

[예제1]

• 동차(homogeneous), 비동차(nonhomogeneous)

위의 연립 방정식에서 에서 실수 b₁,b₂, ... , b_m 이 모두 0 이면 이 연립방정식을 동차(homogeneous) 연립방정식이라 하고 그렇지 않으면 비동차(nonhomogeneous)연립방정식이라고 한다.

  따라서, 일반적인 동차연립일차방정식은

  이고

이라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

AX=O

• 자명한 해(trivial solution), 자명하지 않은 해(nontrivial solution)

  동차연립일차방정식 (1)에 x₁=0. x₂=0,.........,x_n=0을 대입하면 모든 방정식이 성립하므 로 이것은 연립방정식 (1)의 해이다. 이 해를 자명한 해(trivial solution)라 하며, X≠0 인 해를 자명하지 않은 해(nontrivial solution)라고 한다.

  연립일차방정식의 해는 존재하지 않거나, 유일하게 존재하거나 또는 무수히 많이 존재한다. 그런데 동차연립일차방정식은 항상 자명한 해를 가지므로 다음 중 하나가 성립한다.

    (i) 자명한 해만 갖는다.

   (ii) 무수히 많은 해를 갖는다. 즉, 자명하지 않은 해도 갖는다.

정리 1.9 n개의 미지수를 갖는 m개의 방정식으로 이루어진 동차연립일차방정식은 m<n이 면 즉, 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면 자명하지 않은 해를 갖는다.

[증명]

[예제2]

[연습문제 1.6]

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본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 5. 25.