'98 선형대수학 OCU 3장 1절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


행 렬 식 (Determinant)


  행렬식에 대한 개념은 행렬이 소개되기 전에 이미 알려졌으며 오랫동안 연립일차방정식의 해를 구하는 기본적인 수단으로 이용되어져 왔다.

또한, 행렬식을 이용하면 행렬이 가역인지 아닌지를 쉽게 알 수 있다.

  이 장에서는 정사각행렬을 실수에 대응시키는 함수로 행렬식을 정의하고, 그 계산법 및 응용에 관하여 알아본다.


OCU 3장 1절

2.1 행렬식의 정의와 그 성질


더운 날씨에 공부하느라고 고생이 많지요?

이번주에는 재미있는 수학 이야기 한 토막을 들려 줄게요.

물론 이것은 아마도 계속 될 것입니다.

재미있게 읽어 보세요.....

 

성경에는 다음과 같은 구절이 나온다.

" ...... 비는 40일 동안 밤, 낮을 가리지 않고 쏟아졌다. ......물은 땅위에 가득하고, 이어 모든 산을 온통 덮어 버렸다. 지상의 모든 생물은 물에 씻기어 없어지고, 다만 노아와 함께 배에 탔던 짐승들만이 살아 남았다."

  이 대홍수에 관한 기록을 수학적으로 해결하여보자. 대홍수를 일으켰던 물은 증발하여 지상의 공기 속으로 돌아갔을 것이며, 또한 대홍수를 일으켰던 물, 즉 비도 대기 중에서 생긴 것이다. 따라서 이 물은 현재에도 역시 대기 중에 있어야 한다. 그런데 기상학에 의하면 가로와 세로의 길이가 각각 1m 씩인 정사각형의 땅 위의 공기 기둥 속에는 수증기가 평균 16kg 포함되어 있으며, 많아도 25kg이상을 넘지 않는다고 한다. 따라서 25kg 즉 25000g의 물의 부피는 25000 세제곱 cm이고 땅 위의 정사각형의 넓이가 1m의 제곱 즉, 10,000 제곱 cm이므로 물의 부피를 밑넓이로 나누면, 즉 25,000/10,000 = 2.5 cm 이다. 따라서 전세계를 덮은 대홍수는 기껏해야 수심 2.5cm밖에 되지 않는다. 왜냐하면 대기 중에는 이 이상의 수분이 없기 때문이다. 또한 이 깊이는 내린 비가 땅속에 스며들지 않는다고 가정했을 때의 깊이다. 물의 깊이 2.5cm는 지상 8,848m 즉, 884,800cm의 에베레스트산 정상에도 훨씬 못 미친다. 따라서 성경에 나오는 대홍수는 무려 350,000배 이상이나 과장된 것이다. 왜냐하면 비가 40일 동안 25mm 내렸으므로 하루동안에 내린 평균 비의 양은 0.625mm로 내려도 별로 표시가 나지 않는 양이다. 그러나 원래 신화는 상징적이며, 이와 같은 수학적인 과정으로는 따질 수 없는 것이다. 즉 신화와 과학은 또 다른 문제인 것이다.

다음에는 더 재미있는 이야기를 들려 줄게요.

기대하시고, 열심히 선형대수학을 공부하세요...


notebook.gif    OCU 제 3 장 1절 은 교재의 2장 1절입니다. 오늘은 행렬식의 정의와 그 성질에 대해서 학습합시다. 이 절에서는 행렬 X에 대하여 어떤 실수 f(X)를 대응시키는 함수 중에서 특히 중요한 행렬식 함수에 관하여 살펴보겠습니다.


정 의 자연수의 집합 S={1,2,.........n}의 치환(permutation, 순열)이란 S에서 S로의 일대일 대응 함수 σ이다. 함수

 

을 간단히 (i1, i2, ... ,in)으로 쓰기로 한다.

[ 주의: 이것은 치환군에서 흔히 쓰는 순회치환 부호와는 다른 의미이다. ]


    S 상의 치환 전체의 집합을 Sn으로 나타낸다.
 


[예제1]


  S={1, 2,........n}의 치환 (j1, j2,.........,jn)에서 큰 자연수가 작은 자연수보다 먼저 나타나 면 이 치환은 반전(inversion)을 가졌다고 한다. 또, 치환이 가진 반전의 총 개수가 짝수이 면 이 치환은 짝치환(even permutation), 홀수이면 홀치환(odd permutation) 이라고 한다.


[예제2]

[예제3]


정 의  함수   sgn:Sn → {-1, +1}을 다음과 같이 정의한다.

 


정리 2.1 치환 σ의 임의의 두 수를 바꾼 치환을 τ라 하면 다음이 성립한다.

                 sgn(τ)=-sgn(σ)

[증명]


정 의 행렬 A=[aij]가 n차의 정사각행렬일 때, A의 행렬식(determinant)을 det(A) 또는 |A|로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

 

 


[예제4]

 


오른쪽 방향의 화살표의 곱에는 +, 왼쪽 방향의 화살표의 곱에는 -를 붙인다.


[예제5]

[예제6]


정리 2.2 정사각행렬 A의 행렬식과 A의 전치행렬 AT의 행렬식의 값은 같다.

[증명]


[예제7]


정리 2.3 행렬 B가 정사각행렬 A의 두 행을 서로 바꾸어서 얻어진 행렬이라면

              |B|=-|A|

     이다.

[증명]


[예제8]


정리 2.4 정사각행렬 A의 두 행이 일치하면 |A|=0이다.

[증명]


[예제9]


정리 2.5 정사각행렬 A의 한 행의 성분이 모두 0이면 |A|=0이다.

[증명]


[예제10]


정리 2.6 정사각행렬 A의 한 행을 k배하여 얻어진 행렬을 B라 하면 |B|=k|A|이다.

[증명]


[예제11]


정리 2.7 정사각행렬 A의 한 행의 k배를 다른 행에 더하여 얻어진 행렬을 B라 하면 |B|=|A|이다.

[증명]


[예제12]


  주대각선성분 아래의 성분이 모두 0인 정사각행렬을 상삼각행렬(upper triangular matrix), 위쪽의 성분이 모두 0인 정사각행렬을 하삼각행렬(lower triangular matrix)이라고 한다. 상삼각행렬과 하삼각행렬을 통틀어 삼각행렬(triangular matrix)이라고 한다.

 


[예제13]


정리 2.8 A=[aij]가 n차의 삼각행렬이면 A의 행렬식은 주대각선성분의 곱과 같다. 즉,

 


[예제14]

[예제15]


정리 2.9 두 행렬 A, B가 n차의 정사각행렬일 때, 다음이 성립한다.

                |AB|=|A||B|

   (증명은 다음 주소를 참조 :

   http://www.math.unl.edu/~msapir/M314HNotes/proofdet3.html/ )

                   이 주소는 Vanderbilt Univ. 로 바뀌었음
 


[예제16]


정리 2.10 행렬 A가 가역이면 |A|≠0 이고 다음이 성립한다.

 

[증명]


[예제17]


[연습문제 2.1]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수에게 있습니다.   1998. 7.