'98 선형대수학 OCU 3장 2절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


OCU 3장 2절

2.2 여인자 전개와 행렬식의 응용 


notebook.gif  오늘은 (교재의 2장 2절) 여인자 전개와 행렬식의 응용을 학습합시다. 이 절에서는 행렬식을 직접 계산하는데 편리하고 이론적으로도 중요한 방법을 알아본다. 그리고 이 방법의 응용으로서 역행렬을 계산하는 공식과 연립일차방정식의 해를 구하는 공식을 소개합니다.


정 의 정사각행렬 A=[aij]의 i행과 j열을 제거하여 만든 부분행렬을 A ( i | j )라 하고 그의 행렬식

det A ( i | j ) = | A ( i | j ) |를 aij 소행렬식(minor)이라 한다. 또,

               Aij = (-1)i+j |A (i|j)|

를 aij여인자(cofactor)라고 한다.


정 의  n차의 정사각행렬 A=[aij]의 성분 aij의 여인자를 Aij라 할 때, 행렬 [Aij]T를 A의 수반행렬(adjoint matrix)이라 하고, adj A 로 나타낸다. 즉,

 

 


[예제1]

[예제2]


         (1)

식 (1)에 의하여 A의 1열의 성분과 그 성분의 여인자를 곱하여 더한 것은 |A|과 같음을 알 수 있다. |A|을 계산한 이와 같은 방법을 행렬 A의 1열에 관한 여인자전개(cofactor expansion)라 한다. 이것은 임의의 열에 대하여도 성립하며, 임의의 행에 대하여도 유사한 전개식이 성립한다.


[예제3]

[예제4]


  일반적으로 n차의 정사각행렬 A=[aij]에 대하여도 다음이 성립한다.

 

따라서 n차의 정사각행렬 A=[aij]의 행렬식은 여인자 전개를 이용하는 (Laplace 여인자 전개라고 불리우는) 다음 정리를 이용하여 구할 수 있다.


정리 2.11 A가 n차의 정사각행렬일 때 i, j (1≤i≤n, 1≤j≤n)에 대하여 다음이 성립한다.

  (i열에 관한 여인자전개)

 ,  (j열에 관한 여인자전개)


[예제5]

[예제6]


정리 2.12 n차의 정사각행렬 A가 가역일 때, A의 역행렬은 다음과 같다.

 

[증명]


[예제7]


  연립일차방정식의 해에 대한 공식을 만들면 실제의 계산은 복잡하더라도 해의 성질을 조사할 때는 매우 유용하다. 다음에 n개의 미지수를 가지는 n개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식의 해를 구하는 공식을 아래 정리로 소개한다. 이 공식을 Cramer 공식(Cramer's rule)이라 부른다.


 이라 하면, 이 연립방정식은 AX=B로 나타낼 수 있다. 이때,|A|≠0이면 이 연립방정식은 유일한 해

을 갖는다. 여기서 Mj (j=1, 2,........,n)는 A의 j열을 B로 바꾼 행렬이다.

[증명]


[예제8]

[예제9]


[예제10]


    서로 다른 세 점 (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) 를 지나는 평면의 방정식은 다음과 같다.


다음의 정리를 통해 n개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식과 그것의 계수행렬, 또 행렬식 사이의 관계를 요약하자.


정리 2.14 A가 n차의 정사각행렬일 때, 다음은 동치이다.

  (1) A는 가역이다.

  (2) 모든 n×1 행렬 B에 대하여 연립일차방정식 AX=B가 유일한 해를 갖는다

  (3) 동차연립일차방정식 AX=0이 자명한 해만 갖는다.

  (4) A와 In은 행동치이다.

  (5) |A|≠0


[연습문제2.2]


starfish.gif  정의, 정리는 여기를 누르세요


blue4_3.gif앞으로 blue4_1.gifHome 으로 blue4_4.gif다음으로


starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 5. 25.