'98 선형대수학 OCU 4장 1절

웹노트(LA Web Note)

 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) 의 Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.

제 3 장 벡터(Vector)

  우리 주위에는 온도, 시간, 길이, 높이 등과 같이 수(number)를 가지고 완전히 나타낼 수 있는 "크기"만을 가지는 양 이 있는가 하면 "크기"와 "방향"을 둘 다 가지는 양도 있다.   예를들어, 크기만 을 가지고 "배가 10 km 로 항해한다" 하면 이 배가 어디로 가는지를 알 수 없다. 그래서 방향까지를 설정하여 " 배가 남쪽을 향해 10 km 로 항해한다"고 해야 이 배가 항해하는 것을 완전히 나타낼 수 있다. 이때, 크기만을 가지는 양을 스칼라(scalar)라 하고 크기와 방 향 모두를 가지는 양을 벡터(vector)라 한다. 우리는 3차원 공간에서 이러한 벡터의 기본성질을 알아보고 Rn으로 확장한다.

OCU 4장 1절

* 3.1 공간벡터

 notebook.gif 이 절에서는 공간벡터의 여러 가지 정의와 기본성질에 대해서 알아봅니다.

 

정 의 두 벡터 x, y와 스칼라 k에 대하여 두 벡터의 합 x+y와  k에 의한 x의 스칼라배 kx를 다음과 같이 정의한다.

    (i) x+y는 x, y에 의하여 결정되는 평행사변형의 대각선으로 표시되는 벡터이다

                      (그림 3.2 (a)).

    (ii) kx는 k>0 이면 x와 방향이 같으면서 길이는 k배 하여 얻어지 는 벡터이고, k<0 이면 x와 방향이 반대이면서 길이는 |k| 배 하 여 얻어지는 벡터이다 (그림 3.2 (b)).

또한 k 가 0이면 kx는 길이가 0 인 벡터이다.

 

그림  3.2

 

정 의 세 실수들의 순서조 (x1, x2, x3)를 공간벡터(vector in space)라 하고

 

로 나타낸다. 이때 실수 x1, x2, x3를 공간벡터 x의 성분(component)이 라고 한다.

정 의  R3 의 벡터

 

에 대하여 x1=y1, x2=y2, x3=y3 이면 x=y라 한다.

  P(x1.x2,x3), Q(y1,y2,y3)인 유향선분 PQ→를 y1-x1, y2-x2, y3-x3를 성분으로 갖는 벡터라 한다. 따라서 PQ→는 처음점이 원점 O 이고 끝점이 Q'(y1-x1,y2-x2,y3-x3)인 벡터로 나타낼 수 있다 (그림 3.4). 즉,

 

[예제1]

  점 P(x1,x2,x3)에 대하여 유향선분 OP→의 길이(length)를 벡터 x = OP→ 의 크기(norm)로 정의하며 ||x||로 나타낸다. 따라서 피타고라스 정리에 의하여

 

이다. 특히, 처음점이 P(x1,x2,x3)이고 끝점이 Q(y1.y2.y3)인 벡터PQ→ 의 크기는 다음과 같음을 쉽게 알 수 있다.

     

[예제2]

정 의 R3의 벡터x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)와 스칼라 k에 대하여, 두 벡터의 합(vector sum) x+y와, k에 의한 x의 스칼라배(scalar multiple) kx를 다음과 같이 정의한다.

        (i) x+y=(x1+y1, x2+y2, x3+y3)

        (ii) kx=(kx1, kx2, kx3)

  모든 성분이 0인 벡터 (0, 0, 0)을 R3의 영벡터(zero vector)라 하며 0으로 나타낸다. 그러면 임의의 벡터x=(x1, x2, x3)에 대하여

        x+0=x, x+(-1)x=0

이 성립함을 쉽게 알 수 있다. 여기서 (-1)x=-x로 정의하며 -x를 x의 음벡터(negative vector)라 한다.

[예제3]

정 의 R3의 두 벡터 x=(x1,x2,x3) , y=(y1,y2,y3)에 대하여 실수

        x1y1 + x2y2 + x3y3

를 x와 y의 내적(inner product 또는 scalar product) 이라 하고 x·y로 나타낸다. 즉,

        x·y = x1y1 + x2y2 + x3y3

   θ=π/2이면 x와 y는 직교한다(orthogonal)고 하며 θ=0이거나 θ=π이면 x와 y는 평행하다(parallel)고 한다. 즉,

        x와 y는 직교한다.     ⇔     x·y=0.

        x 와y 는 평행하다.     ⇔    x=ky 인 k∈R가 존재한다.

  영벡터는 모든 벡터와 직교하며 또한 평행하다고 할 수 있다.

  특히, 내적의 정의로부터 x=y이면

        x·x=x12+x22+x32=||x||2

이므로 다음이 성립한다.

        ||x||=sqrt(x·x)

[예제4]

크기가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라 하며 0아닌 벡터 x에 대하여

        || ( 1 / ||x|| ) x || = ( 1 / ||x|| ) ||x|| = 1

이므로

        u=(1/||x||)x

는 항상 x와 같은 방향을 갖는 단위벡터이다.

[예제5]

 

  R3의 단위벡터 중에서 특히, 세 벡터

i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

를 이용하면

x=(x1, x2, x3)=x1(1,0,0)+x2(0,1,0)+x3(0,0,1)

=x1i + x2j + x3k   

이므로, R3의 임의의 벡터x=(x1,x2,x3)는 단위벡터 i, j, k로 표시할 수 있다 (그림 3.7 (b)).

[연습문제3.1]

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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 5. 25.