'98 선형대수학 OCU 4장 2절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 3 장 벡터(Vector)


  우리 주위에는 온도, 시간, 길이, 높이 등과 같이 수(number)를 가지고 완전히 나타낼 수 있는 "크기"만을 가지는 양 이 있는가 하면 "크기"와 "방향"을 둘 다 가지는 양도 있다.   예를들어, 크기만 을 가지고 "배가 10 km 로 항해한다" 하면 이 배가 어디로 가는지를 알 수 없다. 그래서 방향까지를 설정하여 " 배가 남쪽을 향해 10 km 로 항해한다"고 해야 이 배가 항해하는 것을 완전히 나타낼 수 있다. 이때, 크기만을 가지는 양을 스칼라(scalar)라 하고 크기와 방 향 모두를 가지는 양을 벡터(vector)라 한다. 우리는 3차원 공간에서 이러한 벡터의 기본성질을 알아보고 Rn으로 확장한다.


OCU 4장 2절

* 3.2 벡터의 외적


  notebook.gif 교재의 본문 3장 2절인 외적은 우리에게는 선택입니다. 우리가 기하학, 물리학, 공학 등에서 벡터를 응용할 때, 종종 R3의 주어진 두 벡터에 동시에 수직인 제 3의 벡터를 구하여야할 때가 있다. R3에서만 의미를 갖는 벡터의 외적을 이용하면 이 제 3의 벡터를 쉽게 구할 수 있다. 이절에서는 외적의 정의와 여러 가지 성질에 대해서 알아봅니다. 공학도는 알아두시면 공업수학에서 또 보게 될 것입니다.


정 의 R3의 벡터 x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)에 대하여 x, y의 외적 (cross product 또는 vector product)을 x×y로 나타내며 다음과 같이 정 의한다.

x×y=(x2y3-x3y2)I+(x3y1-x1y3)j+(x1y2-x2y1)k


[예제1]


정리 3.1 벡터x=(x1,x2,x3) ,y=(y1,y2,y3), z=(z1,z2,z3)에 대하여, 다 음 등식이 성립한다.

 

[증명]


정리 3.2 R3의 벡터 x, y에 대하여 다음 등식이 성립한다.

(1) x·(x×y)=0

(2) y·(x×y)=0

(3) ||x×y||2=||x||2||y||2-(x·y)2

[증명] 


위 정리 3.2로 부터 R3의 주어진 두 벡터 x, y의 외적 x×y의 기하학 적 의미를 알 수 있다.

 
 


  또한, x와 y 사이의 각을 θ라 하면 (3)으로 부터 다음이 성립한다.

 
  따라서

        ||x×y||=||x||||y||sinθ

이므로 x×y벡터의 크기 ||x×y||는 x와 y를 이웃하여 만드는 평행사변형의 넓이와 같다 (그림 3.8(b)).


[예제2]


x=(x1,x2,x3), y=(y1,y2,y3), z=(z1,z2,z3)라 하면
 

                (1)

이므로 평행육면체의 부피 V는 행렬식 (1)의 절대값과 같다.
 

 


[예제3]


정리 3.3 R3의 벡터 x, y, z 와 실수 k에 대하여 다음 등식이 성립한다.

    (1) (x×y) = -(y×x)

    (2) x×(y+z) = x×y + x×z

    (3) (x+y)×z = x×z + y×z

    (4) k(x×y) = (kx)×y = x×(ky)

    (5) x×x = 0

    (6) 0×x = x×0 = 0

    (7) (x×y)×z = (x·z)y-(y·z)x

    (8) x×(y×z)=(x·z)y-(y·x)z


[예제4]


[연습문제 3.2]


starfish.gif  정의, 정리는 여기를 누르세요.


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.