'98 선형대수학 OCU 4장 3절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 3 장 벡터(Vector)


  우리 주위에는 온도, 시간, 길이, 높이 등과 같이 수(number)를 가지고 완전히 나타낼 수 있는 "크기"만을 가지는 양 이 있는가 하면 "크기"와 "방향"을 둘 다 가지는 양도 있다.   예를들어, 크기만 을 가지고 "배가 10 km 로 항해한다" 하면 이 배가 어디로 가는지를 알 수 없다. 그래서 방향까지를 설정하여 " 배가 남쪽을 향해 10 km 로 항해한다"고 해야 이 배가 항해하는 것을 완전히 나타낼 수 있다. 이때, 크기만을 가지는 양을 스칼라(scalar)라 하고 크기와 방 향 모두를 가지는 양을 벡터(vector)라 한다. 우리는 3차원 공간에서 이러한 벡터의 기본성질을 알아보고 Rn으로 확장한다.


OCU 4장 3절

* 3.4 n-차원 벡터


 notebook.gif 좌표평면 R2의 점 P는 두 실수의 순서쌍 (x1, x2)를 써서 표시할 수가 있다. 좌표공간 R3의 점 P는 3.1절에서 본 바와 같이 z-축을 하나 더 추가 함으로서 세 실수의 순서조 (x1, x2, x3)를 써서 표시 할 수 있다. 이와 같은 생각을 일반화하여 4개의 실수의 순서조 (x1, x2, x3, x4)는 그림으로 나타낼 수는 없지만 R4 공간의 점을 표시한다고 생각하는 것은 공간개념의 자연스러운 하나의 확장이라 하겠다. 이와 같은 생각으로 n차원 벡터를 생각할 수 있다.


정 의 n개의 실수의 순서조 (x1, x2, ... ,xn)을 n-차원벡터(n-dimensional

vector)라 하고

 

으로 나타낸다. 이때 실수 x1, x2, ... ,xn을 x의 성분이라 한다.


    Rn={(x1, x2, ... ,xn)|xi∈R, i=1, 2,.......,n}

  혼동할 염려가 없을 때는 Rn의 원소를 간단히 벡터라 한다. 특히 n=1일 때, R1은 실수 전체의 집합과 일치하므로 R1을 간단히 R로 나타낸다.


정 의   Rn의 벡터

   

에 대하여 xi=yi(i=1,2,.......,n)이면 x=y라고 한다.


정 의    Rn의 벡터

 

와 스칼라 k에 대하여, 두 벡터의 x+y와 k에 의한 x의 스칼라 배 kx를 각각 다음과 같이 정의한다.

또한, Rn 에서 모든 성분이 0인 벡터를 영벡터라 하고 0으로 나타낸다. 그러면 임의의 벡터 x∈R에 대하여

x+0=x, x+(-1)x=0

이 성립함을 쉽게 알 수 있다. 여기서 (-1)x=-x로 정의하며 -x를 x의 음벡터라 한다.


[예제1]


정리 3.7 Rn의 벡터 x, y, z와 스칼라 h, k에 대하여 다음이 성립한다.

    (1) x+y=y+x

    (2) (x+y)+z=x+(y+z)

    (3) x+0=0+x=x

    (4) x+(-x)=(-x)+x=0

    (5) k(x+y)=kx+ky

    (6) (h+k)x=hx+kx

    (7) (hk)x=h(kx)

    (8) 1x=x

[증명]


정 의 Rn의 벡터x=(x1, x2, ... ,xn)에 대하여

        ||x||=sqrt(x12, x22, ... ,xn2)

을 x의 크기(norm)라 한다.


    ||x-y||=sqrt((x1-y1)2+ ... +(xn-yn)2)


[예제2]


정 의 Rn의 벡터 x=(x1, x2, ... ,xn), y=(y1, y2, ... ,yn)에 대하여 실수 x1y1+x2y2+ ... +xnyn 을 x와 y의 내적이라 하고 x·y로 나타낸다. 즉,

    x·y=x1y1+x2y2+ ... +xnyn

내적의 정의로 부터 Rn의 벡터 x에 대하여 다음을 얻는다.

    x·x=||x||2


[예제3]


정리 3.8 Rn의 벡터 x, y, z와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립한다.

    (1) x·x≥0, x·x=0⇔x=0

    (2) x·y=y·x

    (3) (x+y)·z=x·z + y·z

    (4) (kx)·y=x·(ky)=k(x·y)

[증명]


정리 3.9 (Cauchy-Schwarz 부등식)

Rn의 임의의 벡터 x, y에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

    (1)

단, 등호는 x, y중 하나가 다른 것의 실수배일때만 성립한다.

Cauchy-Schwarz 부등식으로부터 Rn의 0아닌 벡터 x, y에 대 하여

-1≤(x·y)/(||x||||y||)≤1

이므로

cosθ=(x·y)/(||x||||y||), 0≤θ≤π

을 만족하는 실수 θ가 단 하나 존재한다.

[증명]


정 의 Rn의 벡터 x, y에 대하여

x·y=||x||||y||cosθ,0≤θ≤π

인 θ를 x와 y가 이루는 (angle)이라 한다.


특히, x·y=0일 때 x와 y는 서로 직교한다고 하고, 적당한 실수 k에 대하여 x=ky인 경우에 x는 y와 평행하다고 한다.


이제까지 얻은 결과를 이용하면 Rn에서도 평면 유클리드 기하학의 특성인 길이와 각을 정의할 수 있다. 이러한 의미에서 내적이 정의되어 있는 Rn을 n-차원 유클리드공간(n-dimensional Euclidean space)이라고 한다.


[예제4]


[예제5]


정리 3.10 (삼각부등식)

Rn의 벡터 x, y에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

||x+y||≤||x||+||y|| (3) 단, 등호는 x, y 중 하나가 다른것의 k≥0 배일 때만 성립한다.

[증명]


[예제6]


R3에서와 마찬가지로 Rn에서도 크기가 1 인 벡터를 단위벡터라 하며, 임의의 벡터 x(≠0)에 대하여  u=(1/||x||)x 은 단위벡터임을 쉽게 알 수 있다.

    Rn의 단위벡터 중에서 다음 n개의 벡터

    e1=(1,0, ... ,0), e2=(0,1, ... ,0), ... ,en=(0,0, ... ,1)

기본단위벡터라 한다. 이것들이 서로 직교함은 쉽게 알 수 있다.


    x=x1e1 + x2e2 + ... + xnen

특히, R3인 경우에는 3.1절에서 본 바와 같이 기본단위벡터

e1, e2, e3 대신에 각각 i, j, k 를 일반적으로 쓴다.


[연습문제 3.4]


starfish.gif  정의, 정리는 여기를 누르세요.


blue4_3.gif앞으로 blue4_1.gifHome 으로  blue4_4.gif다음으로


starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.