'98 선형대수학 OCU 5장 1절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


 OCU 5장 1절

제 4 장 벡 터 공 간

(교재 4.1) 벡터공간의 기본개념

  3장에서 다룬 벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 여기에 그치지 않고 수학체계의 일반적인 이론으로서 수학의 여러분야에 적용됩니다. 이 장에서는 벡터공간을 정의하고, 정의를 이용하여 벡터공간의 이론을 추상적으로 개발할 것입니다. 이러한 접근방법은 추상적인 현대수학에 대한 최초의 진지한 소개가 될 것입니다.


여기서는 벡터공간의 정의와 예를 소개합니다. 우리가 지금까지 수학을 배우며 보통 써오던 집합은 대부분 벡터공간이랍니다. 예로 실수의 집합, 복소수의 집합, 연속함수의 집합, 미분가능한 함수들의 집합등이 모두 벡터공간의 중요한 예랍니다.


정 의  임의의 집합 V(≠ø)에서 두 연산, 덧셈(vector addition) '+'와 스칼라 배(scalar multiplication)'. '이 정의되어 있고, 임의의 x, y, z∈V 와 h, k∈R에 대하여 그 정의 아래에서 두개의 기본 법칙

A. x, y∈V ⇒x+y∈V

SM. x∈V, k∈R ⇒kx∈V

와, 다음의 8개의 연산법칙이 성립할 때, 집합 V를 주어진 연산에 관한 R상의 벡터공간(vector space)이라 하고, 벡터공간 V의 원소를 벡터(vector)라 한다.

    A1. x+y=y+x

    A2. (x+y)+z=x+(y+z)

    A3. 모든 x∈V에 대하여 다음을 만족하는 원소 0이 V에 단 하나 존재한다.

                             x+0=0+x=x

    A4. V의 각 원소 x에 대하여, 다음을 만족하는-x가 V에 유일 하게 존재한다.

                             x+(-x)=(-x)+x=0  

    SM1. k(x+y)=kx+ky

    SM2. (h+k)x=hx+hy

    SM3. (hk)x=h(kx)=k(hx)

    SM4. 1x=x

여기서, 조건 A3를 만족시키는 0영벡터, 조건 A4를 만족시키는 -x 를 x의 음벡터라 한다.


[예제1]


[예제2]


[예제3]


[예제4]


[예제5]


[예제6]


[예제7]


정리 4.1 V 를 벡터공간이라 할 때, 임의의 벡터 x∈V와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립한다.

     (1) 0x=0

     (2) k0=0

     (3) (-1)x=-x

     (4) kx=0 ⇒ k=0 또는 x=0

[증명]


[연습문제 4.1]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.