'98 선형대수학 OCU 5장 3절

웹노트(LA Web Note)


OCU 5장 3절

(교재 4.3 ) 일차독립과 일차종속

  일차독립과 일차종속의 개념은 어떤 국가가 다른 나라의 도움없이 스스로의 존재를 증명 할 수 있느냐 없느냐를 얘기하는 것과 같은 것입니다. 이러한 개념은 추상적인 현대수학의 시작이며 무궁무진한 사회적 응용의 시작입니다.


정 의 집합 V가 벡터공간일 때 {x1, x2, ... ,xk}⊆V에 대하여, 벡터x∈V 가

x=c1x1+c2x2+ ... +ckxk,     c1, c2,.......,ck∈R

의 꼴로 표시되면, x를 벡터 x1, x2, ...,xk일차결합(linear combination)이라고 한다.


[예제1]


[예제2] 


이 W를 S에 의하여 생성된(spaned) V의 부분공간이라고 한다. 이때, 집합 S는 W를 생성(span)한다고 하고, S를 W의 생성집합(spanning set)이라고 하며 기호로는 다음과 같이 나타낸다.

W=span(S) 또는 W=<S>

특히, V에 있는 모든 벡터가 S에 있는 k개 벡터들의 일차결합이면 집합 S는 벡터공간 V를 생성한다.

즉,

V=<S>={c1x1+ ... +ckxk |c1, ... ,ck∈R}


[예제3]


[예제4]


[예제5]


정 의 집합 V가 벡터공간이라 하자. S={x1, x2, ..., xk}⊆V에 대하여

           c1x1+c2x2+ ... +ckxk=0  (c1, c2, ... ,ck∈R)

                  ⇒ c1=c2= ... =ck=0

이면, 벡터 x1, x2, ... ,xk (또는 집합 S)는 일차독립(linearly independent)이라고 하고, 또한 벡터 x1, x2, ... ,xk (또는 집합S)가 일차독립이 아니면 일차종속(linearly dependent)이라고 한다.

즉, 집합 S가 일차종속이면

                     c1x1+c2x2+ ... +ckxk=0

을 만족하는 모두는 영이 아닌 스칼라 c1, c2, ... ,ck가 존재한다.


[예제6]


[예제7]


[예제8]


[예제9]


정리 4.3 벡터공간 Rn에서 n개의 벡터

             x1=(x11,x12, ... ,x1n), x2=(x21,x22, ... ,x2n), ...  ,xn=(xn1,xn2, ... ,xnn)

이 일차독립일 필요충분조건은 다음이 성립하는 것이다 
                  

[증명]


[예제10]


정리 4.4   집합 V가 벡터공간일 때 S={x1, x2, ... ,xk}⊆V에 대하여, 다음이 성립한다.

      (1) 집합 S가 일차종속일 필요충분조건은 S에 속하는 한 벡터가 나머 지 벡터들의 일차결합으로 표시되는 것이다.

      (2) 집합 S가 영벡터를 포함하면 S는 일차종속이다.

      (3) 집합 S의 부분집합 S'이 일차종속이면 S도 일차종속이고, S가 일 차독립이면 S'도 일차독립이다.

[증명]


정리 4.5   벡터공간 Rn에서 m(>n)개의 벡터는 항상 일차종속이다.


[예제11]


[연습문제 4.3]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.