'98 선형대수학 OCU 5장 4절

웹노트(LA Web Note)

                      (교재 제 4 장) 벡 터 공 간

  3장에서 다룬 벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 여기에 그치지 않고 수학체계의 일반적인 이론으로서 수학의 여러분야에 적용됩니다. 이 장에서는 벡터공간을 정의하고, 정의를 이용하여 벡터공간의 이론을 추상적으로 개발할 것입니다. 이러한 접근방법은 추상적인 현대수학에 대한 최초의 진지한 소개가 될 것입니다

OCU 5장 4절

                       (교재 4.4 ) 기저와 차원

  일차독립과 일차종속 그리고 일차결합은 거기에 그치지 않고 벡터공간의 본질을 주는 다음의 정의로 이어집니다.

정 의  집합 V가 벡터공간일 때, 다음의 두 조건을 만족하는 집합 S⊆V를 V 의 기저(basis) 라 한다.

           (i) S는 일차독립이다.

           (ii) S는V를 생성한다.

[예제1]

[예제2]

[예제3]

[예제4] 

정리 4.6  집합 S = {x₁, x₂, ... ,x_n}이 벡터공간 V의 기저일 때, V의 r>n의

               벡터들의 집합 S' = {x₁, x₂, ... ,x_r}은 항상 일차종속이다.

              따라서 S'이 일차독립이면 r≤n 이다.

[증명]

[주] 정리 4.6은 V가 n-차원 벡터공간일 때 V의 n+1개 이상의 벡터들의 집합은 항상 일차종속임을 의미한다.

정리 4.7 집합 S={x₁, x₂, ... ,x_n}과 T={y₁, y₂, ... ,y_k}이 벡터공간 V 의 기저이면 n=m이다.

 [증명]

정 의   집합 S가 벡터공간 V의 한 기저일 때, S에 속하는 벡터의 개수를 V 의 차원(dimension)이라 하며 dimV로 나타낸다.

[예제5]

정리 4.8  집합 V가 n-차원 벡터공간일 때, n개의 벡터들의 집합

                 S={x₁, x₂, ... ,x_n}⊆V에 대하여 다음이 성립한다.

             (1)  집합 S가 일차독립이면 S는 V의 기저이다.

             (2)  <S>=V이면 S는 V의 기저이다.

[증명]

[예제6]

[예제7]

[연습문제 4.4]

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본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.