'98 선형대수학 OCU 6장 1절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


(제 4 장) 벡 터 공 간


  3장에서 다룬 벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 여기에 그치지 않고 수학체계의 일반적인 이론으로서 수학의 여러분야에 적용됩니다. 이 장에서는 벡터공간을 정의하고, 정의를 이용하여 벡터공간의 이론을 추상적으로 개발할 것입니다. 이러한 접근방법은 추상적인 현대수학에 대한 최초의 진지한 소개가 될 것입니다


OCU 6장 1절

4.5 Ax=0의 해공간의 기저와 차원

  행렬들의 집합이 벡터공간을 이루는 것은 기억하시지요. 그 행렬로 이루어진 연립방정식의 해를 구한 후는? 그 해들로 이루어진 집합이 갖는 무슨 성질은 없을까요? 이것을 알면 한해를 구한후 나머지 모든 해를 구하는 것이 훨씬 쉬울턴데요.  해들의 집합이 다시 벡터공간이 된다는 사실을 들어 보셨습니까? 여기서 만나세요!


                m×n 행렬 A와 x=(x1, x2, ... ,xn)∈R에 대하여  동차연립방정식

                                 Ax=0  을           식   (1)           (  r<n )         이라 하자. 그러면

       

따라서 n-r개의 임의의 실수 s1, s2, ... ,s{n-r}에 대하여

                    x{r+1}= s1, ... ,xn=s{n-r}

이라 하면, 식 (1) 의 일반해는 다음과 같다.

              

여기서, s1, ... ,s{n-r}이 임의의 실수 이므로

              

도 식 (1) 의 해이다. 따라서 임의의 해는

                      x=s1v1+s2v2+ ... +s{n-r}v{n-r}

로 나타내어지므로  S={v1, v2, ... ,v{n-r}}는   Ax=0의  해공간을 생성한다.  또, S가 일차독립임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 S는 이 해공간의 기저이고 해공간의 차원은 n-r이다.


    m×n 행렬 A에 대하여 Ax=0의 해공간 즉, A의 영공간(null space)의 차원을
nullity(A)라고 나타낸다.


[예제1]


[예제2]


[연습문제 4.5]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.