'98 선형대수학 OCU 6장 1절
웹노트(LA Web Note)
이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) 의 Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.
3장에서 다룬 벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 여기에 그치지 않고 수학체계의 일반적인 이론으로서 수학의 여러분야에 적용됩니다. 이 장에서는 벡터공간을 정의하고, 정의를 이용하여 벡터공간의 이론을 추상적으로 개발할 것입니다. 이러한 접근방법은 추상적인 현대수학에 대한 최초의 진지한 소개가 될 것입니다
OCU 6장 1절
4.5 Ax=0의 해공간의 기저와 차원
행렬들의 집합이 벡터공간을 이루는 것은 기억하시지요. 그 행렬로 이루어진 연립방정식의 해를 구한 후는? 그 해들로 이루어진 집합이 갖는 무슨 성질은 없을까요? 이것을 알면 한해를 구한후 나머지 모든 해를 구하는 것이 훨씬 쉬울턴데요. 해들의 집합이 다시 벡터공간이 된다는 사실을 들어 보셨습니까? 여기서 만나세요!
m×n 행렬 A와 x=(x1, x2, ... ,xn)∈R에 대하여 동차연립방정식
Ax=0 을 식 (1) ( r<n ) 이라 하자. 그러면
따라서 n-r개의 임의의 실수 s1, s2, ... ,s{n-r}에 대하여
x{r+1}= s1, ... ,xn=s{n-r}
이라 하면, 식 (1) 의 일반해는 다음과 같다.
여기서, s1, ... ,s{n-r}이 임의의 실수 이므로
도 식 (1) 의 해이다. 따라서 임의의 해는
x=s1v1+s2v2+ ... +s{n-r}v{n-r}
로 나타내어지므로 S={v1, v2, ... ,v{n-r}}는 Ax=0의 해공간을 생성한다. 또, S가 일차독립임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 S는 이 해공간의 기저이고 해공간의 차원은 n-r이다.
m×n 행렬 A에 대하여 Ax=0의 해공간 즉, A의 영공간(null space)의 차원을
nullity(A)라고 나타낸다.
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본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다. 1998. 7.
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