'98 선형대수학 OCU 6장 2절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 4 장 벡 터 공 간


  3장에서 다룬 벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 여기에 그치지 않고 수학체계의 일반적인 이론으로서 수학의 여러분야에 적용됩니다. 이 장에서는 벡터공간을 정의하고, 정의를 이용하여 벡터공간의 이론을 추상적으로 개발할 것입니다. 이러한 접근방법은 추상적인 현대수학에 대한 최초의 진지한 소개가 될 것입니다


OCU 6장 2절

4.6 행렬의 행공간과 열공간


정 의

 

 을 각각 A의 행벡터(row vector), 열벡터(column vector)라고 한다. 이들 행벡터에 의해서 생성된

Rn의 부분공간을 A의 행공간(row space), 열벡터에 의해서 생성된 Rn부분공간을 A의

열공간(column space)이라 하고, 각각 Row(A), Col(A)로 나타낸다. 그리고 행공간의 차원을 A의

행계수(row rank), 열공간의 차원을 A의 열계수(column rank)라 하고, 각각r(A), c(A)로 나타낸다.

즉,

                            dim Row(A)=r(A), dim Col(A)=c(A)


정리 4.9 두 행렬 A, B가 행동치이면 이들은 같은 행공간을 갖는다.

[증명]


【주】 행렬 A의 열공간은 AT의 행공간과 같다.


[예제1]


[예제2]


정리 4.10 임의의 행렬 A∈M{m,n}에 대하여 A의 행계수와 열계수는 같다.


정 의 행렬 A의 행공간이나 열공간의 차원을 간단히 A의 계수(rank)라 하 고 rank(A)로 나타낸다.


정리 4.11 임의의 행렬 A∈M{m,n}에 대하여 다음이 성립한다.

rank(A)+ nullity(A)=n


[예제3]


정리 4.12 연립방정식 Ax=b가 해를 가질 필요충분조건은 다음과 같다.

rank(A)=rank[A|b]

[증명]


[예제4]


정리 4.13 행렬 A가 n차의 정사각행렬일 때 다음은 동치이다.

(1) rank(A)=n

(2) nullity(A)=0

(3) A의 모든 행(열) 벡터는 Rn에서 일차독립이다.

(4) Ax=0은 자명한 해 x=0만을 갖는다.

(5) Ax=b는 모든 n×1 행렬 b에 대하여 유일한 해를 갖는다.

(6) A는 In과 행동치이다.

(7) A는 가역이다.

(8) det(A)≠0


[연습문제 4.6]


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starfish.gif  본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.