'98 선형대수학 OCU 6장 3절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 4 장 벡 터 공 간


  3장에서 다룬 벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 여기에 그치지 않고 수학체계의 일반적인 이론으로서 수학의 여러분야에 적용됩니다. 이 장에서는 벡터공간을 정의하고, 정의를 이용하여 벡터공간의 이론을 추상적으로 개발할 것입니다. 이러한 접근방법은 추상적인 현대수학에 대한 최초의 진지한 소개가 될 것입니다


OCU 6장 3절

Gram-Schmidt의 정규직교화과정


정 의 Rn의 벡터 x1, x2, ... ,xn에 대하여 S={x1, x2, ... ,xn} 하자. 이때, S의 서로 다른 어느 두벡터도          모두 직교하면 S를 직교집합(orthogonal set)이라 한다. 특히, 직교집합 S에 속하는 벡터가          모두 단위 벡터일 때 S를 정규직교집합(orthonormal set)이라고 한다.

      위 정의로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.

   


[예제1]


정리 4.18 Rn의 영아닌 벡터들의 집합 S={x1, x2, ... ,xn} 직교집합 이면 S는 일차독립이다.

[증명]


정의  Rn의 기저 S가 직교집합이면 직교기저(orthogonal basis), 정 규직교집합이면          정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.


[예제2]


정리 4.19 집합 S={x1, x2, ... ,xn}이 Rn의 정규직교기저이면 Rn의 임의 의 벡터 x는 다음과 같이                   표현된다.

x=c1x1+c2x2+ ... +cnxn

                  여기서, ci=x·xi (I=1,2,........,n)이다.

[증명]


[예제3]


[예제4]



정리 4.21 집합 S={x1, x2, ... ,xn}을 Rn의 임의의 기저라 하자. 그러면,

                   S로부터 얻어지는 정규직교기저가 존재한다.

[증명]


[예제5]


[예제6]


[연습문제 4.8]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.