'98 선형대수학 OCU 7장 2절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 5 장 선형변환과 행렬


  4장에서 행렬들의 집합이 두개의 연산에 의하 여 벡터공간이라는 대수적 구조체로서 다시 태 어나는 것을 보았습니다. 이 장에서는 임의의 벡터 공간의 구조를 보존한다는 의미를 갖는 함수인 선형변환에 관하여 알아봅시다. 또한 n-차원 벡 터공간 V에서 m-차원 벡터공간 W로의 선형 변환은 m×n행렬 A를 이용하여 나타낼 수 있 음을 보이고, R^2에서 R^2로의 선형변환에 대한 기하학적 의미를 살펴볼 것입니다.


OCU 7장 2절

5.2 선형변환의 성질


 정리 5.1 V, W가 벡터공간이고 L:V→W을 선형변환이라 하면 다음이 성립한다.

                (1) L(0)=0

                (2) ∀v∈V, L(-v)=-L(v)

                (3) ∀v, w∈V, L(v-w)=L(v)-L(w)

[증명]


정 의  V, W가 벡터공간이고 L:V→W을 선형변환이라 하자. 임의의 두 벡터 v1, v2∈V에 대하여

            v1≠v2 ⇒L(v1)≠L(v2) 일 때, L을 단사(injective 또는 1-1)라고 한다.


[예제1]


정 의  V, W가 벡터공간이고 L:V→W이 선형변환일 때, L에 의한 상이 0이 되는 V의 벡터 전체의 집합을 L의 (kernel)이라 하고 kerL로 나타낸다. 즉

kerL={v ∈V | L(v)=0}


[예제2]


[예제3]


 정리 5.2   V,W가 벡터공간이고 L : V → W 을 선형변환이라 할 때 L이 단사일 필요 충분조건은 kerL={0}이다.

[증명]


[예제4]


 정리 5.3    V,W가 벡터공간이고 L : V → W 을 선형변환이라 하면 kerL은 V의 부분공간이다. 따라서 kerL을 핵공간이라 부른다.

[증명]


[주] 일반적으로 A가 m×n 행렬일 때, 선형변환 L : Rn → Rm을 L(x)=Ax로 정의하면 핵공간 kerL은 Ax=0인 동차연립방정식의 해공간이 된다.


정  의  V,W가 벡터공간이고 L : V → W 이 선형변환일 때, 임의의 v∈V의 상 L(v) 전체의 집합을 L의 치역(range)이라 하고 Im L로 나타낸다. 즉,

Im L = { L(v) | v ∈ V }

특히, Im L = W 이면 L을 전사(surjective 또는 onto)라고 한다. 또한, 선형변환 L이 단사이고 전사이면 L을 V에서 W로의 동형사상(isomorphism)이라고 한다.


[예제 5]


정리 5.4  V, W가 벡터공간이고 L : V → W 이 선형변환일 때, Im L은 W의 부분공간이다.

[증명]


[예제 6]


[예제 7]


정  의  V,W가 벡터공간이고 L : V → W 이 선형변환일 때, Im L 의 차원을 L의 계수(rank)라 하고, rank(L)로 나타낸다. 또한, kerL의 차원을 핵공간의 차원(nullity)이라 하고 nullity(L)로 나타낸다. 즉,

rank(L) = dim(Im L) ,  nullity(L) = dim(kerL)

따라서 위의 정의와 예제 6으로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.

rank(L) = dim(Im L)=A의 열공간의 차원 = rank(A)


[예제 8]


정리 5.5 [rank-nullity 정리] n차원 벡터공간 V와 임의의 벡터공간 W에 대하여 L : V → W 이 선형변환일 때, 다음이 성립한다.

rank(L) + nullity(L) = n

[증명]


[예제 9]


[연습문제 5.2] 


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.