'98 선형대수학 OCU 8장 1절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 6 장 고유값과 고유벡터


 고유값을 의미하는 eigenvalue라는 단어는 Dirac이 명명했다고 알려져 있으며, Ax=λx라는 방정식은

양자역학에 등장하는 고유값문제 Hφ=Eφ에서 유래되었는데 이 방정식을 풀면 파동함수 φ와

지의 값 (에너지 고유값) E를 구할 수 있다.

고유값은 이론적으로도 중요할 뿐만 아니라 미분방 정식의 해, 행렬의 거듭제곱 등을 구할 때도

이용된다. 이 장에서는 행렬의 고유값과 고유벡터를 알아보고 이 것을 이용하여 주어진 행렬을

대각화하는 문제를 살펴 본다.


OCU 8장 1절

6.1 고유값과 고유벡터


정 의  A를 n차의 정사각행렬이라 하자. 0아닌 벡터x∈Rn 가 적당한 스칼라 λ에 대하 여 다음을           만족하면 λ를 A의 고유값(eigenvalue)이라 하고, x를 λ에 대응하는 A 의           고유벡터(eigenvector)라고 한다.

Ax=λx


[예제1]


[예제2]


[예제3]


이제, n차의 정사각행렬 A의 고유값을 구하는 일반적인 방법을 알아보자.

λ를 A의 고유값이라 하면 Ax=λx ⇔ Ax=λ(In(x)) ⇔ (λIn - A)x=0 이고 또한, x≠0이므로 동차연립방정식 (λIn -A)x=0은 0아닌 해를 가져야 한다. 따라서

                                             |λIn -A|=0 (2)

이 때, 식 (2) 를 A의 특성방정식(characteristic equation)이라 하고 |λIn -A| 를 A의 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 한다.


[예제4]


[예제5]


[예제6]


정 의 λ가 n차의 정사각행렬 A의 고유값일 때, 동차연립방정식 (λIn -A)x=0의 해공간을 λ에 대응하는           A의 고유공간(eigenspace)이라고 한다.


          위 정의에 의하여 λ에 대응하는 A의 고유공간은 λ에 대응하는 A의 고유벡터 전체와 영벡터로           이루어진 집합이며, 이는 벡터공간 Rn의 부분공간이다.


[예제7]


[연습문제 6.1]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.