'98 선형대수학 OCU 8장 2절

웹노트(LA Web Note)

이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) 의 Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.

제 6 장 고유값과 고유벡터

고유값을 의미하는 eigenvalue라는 단어는 Dirac이 명명했다고 알려져 있으며, Ax=λx라는 방정식은

양자역학에 등장하는 고유값문제 Hφ=Eφ에서 유래되었는데 이 방정식을 풀면 파동함수 φ와

에너지의 값 (에너지 고유값) E를 구할 수 있다.

고유값은 이론적으로도 중요할 뿐만 아니라 미분방 정식의 해, 행렬의 거듭제곱 등을 구할 때도

이용된다. 이 장에서는 행렬의 고유값과 고유벡터를 알아보고 이 것을 이용하여 주어진 행렬을

대각화하는 문제를 살펴 본다.

OCU 8장 2절

6.2 행렬의 대각화

정 의 A가 어떤 대각행렬과 닮은행렬일 때 즉, 적당한 가역행렬 P가 존재하여 P^-1AP 가 대각행렬일 때 A를 대각화가능한(diagonalizable) 행렬이라 하며 행렬 P는 A 를 대각화하는 행렬이라고 한다.

정리 6.1 n차의 정사각행렬 A가 대각화 가능할 필요충분조건은 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 것이다. 이 때, A는 자신의 고유값 λ₁, ... ,λ_n을 주대각선성분으 로 갖는 대각행렬 D와 닮은행렬이다.

정리 6.1의 증명으로부터 대각화가능한 n차의 정사각행렬 A는 다음 과정을 통하여 대각화할 수 있다.

I. A의 n개의 일차독립인 고유벡터 p⁽¹⁾, P⁽²⁾, ... ,P⁽ⁿ⁾을 구한다.

II. p⁽¹⁾, p⁽²⁾, ... ,p⁽ⁿ⁾을 열벡터로 갖는 행렬 P를 만든다.

III. 이 P가 A를 대각화하는 행렬이고 P^-1AP는 A의 고유값 λ₁, ... ,λ_n을 주 대각선 성분으로 갖는 대각선 행렬이다.

정리 6.2 x₁, x₂, ... ,x_k를 행렬 A∈M_n의 서로 다른 고유값 λ₁, λ₂, ... ,λ_k에 대응 하는 고유벡터라 하면 {x₁, x₂, ... ,x_k}는 일차독립이다.

정리 6.3 n차의 정사각행렬 A가 n개의 서로 다른 고유값을 가지면 A는 대각화가능하다.

[증명]

일반적으로 A의 특성다항식은 λ_i가 A의 고유값일 때 (λ-λ_i)들의 곱으로 나타 낼 수 있으므로 λ₁, λ₂, ... ,λ_k를 행렬 A∈M_n의 서로 다른 고유값이라 하면 A 의 특성다항식은

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 m₁, m₂, ... ,m_k의 합은 n이 된다. 이 때, 정수 m_i를 λ_i의 중복도(multiplicity)라 한다. 예를 들면 예제 7에서 λ=2의 중복도는 2 이다.

[예제8] 참고 서적에서 찾아서 직접 한문제를 풀어보시오.

[연습문제 6.2]

정의, 정리는 여기를 누르세요

앞으로 Home 으로 다음으로

본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다. 1998. 7.