'98 선형대수학 OCU 8장 2절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 6 장 고유값과 고유벡터


 고유값을 의미하는 eigenvalue라는 단어는 Dirac이 명명했다고 알려져 있으며, Ax=λx라는 방정식은

양자역학에 등장하는 고유값문제 Hφ=Eφ에서 유래되었는데 이 방정식을 풀면 파동함수 φ와

지의 값 (에너지 고유값) E를 구할 수 있다.

고유값은 이론적으로도 중요할 뿐만 아니라 미분방 정식의 해, 행렬의 거듭제곱 등을 구할 때도

이용된다. 이 장에서는 행렬의 고유값과 고유벡터를 알아보고 이 것을 이용하여 주어진 행렬을

대각화하는 문제를 살펴 본다.


OCU 8장 2절

6.2 행렬의 대각화


 정 의 A가 어떤 대각행렬과 닮은행렬일 때 즉, 적당한 가역행렬 P가 존재하여 P-1AP 가 대각행렬일 때          A를 대각화가능한(diagonalizable) 행렬이라 하며 행렬 P는 A 를 대각화하는 행렬이라고 한다.


[예제1]


[예제2]


정리 6.1 n차의 정사각행렬 A가 대각화 가능할 필요충분조건은 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 갖는                것이다. 이 때, A는 자신의 고유값 λ1, ... ,λn을 주대각선성분으 로 갖는 대각행렬 D와                닮은행렬이다.

[증명]


 정리 6.1의 증명으로부터 대각화가능한 n차의 정사각행렬 A는 다음 과정을 통하여 대각화할 수 있다.

  I. A의 n개의 일차독립인 고유벡터 p(1), P(2), ... ,P(n)을 구한다.

  II. p(1), p(2), ... ,p(n)을 열벡터로 갖는 행렬 P를 만든다.

  III. 이 P가 A를 대각화하는 행렬이고 P-1AP는 A의 고유값 λ1, ... ,λn을 주 대각선 성분으로 갖는        대각선 행렬이다.


[예제3]


[예제4]


[예제5]


정리 6.2 x1, x2, ... ,xk를 행렬 A∈Mn의 서로 다른 고유값 λ1, λ2, ... ,λk에 대응 하는 고유벡터라                하면 {x1, x2, ... ,xk}는 일차독립이다.

[증명]


정리 6.3 n차의 정사각행렬 A가 n개의 서로 다른 고유값을 가지면 A는 대각화가능하다.

[증명]


[예제6]


일반적으로 A의 특성다항식은 λi가 A의 고유값일 때 (λ-λi)들의 곱으로 나타 낼 수 있으므로 λ1, λ2, ... ,λk를 행렬 A∈Mn의 서로 다른 고유값이라 하면 A 의 특성다항식은                              

같이 나타낼 수 있다. 여기서 m1, m2, ... ,mk의 합은 n이 된다. 이 때, 정수 mi를 λi중복도(multiplicity)라 한다. 예를 들면 예제 7에서 λ=2의 중복도는 2 이다.


[예제7]


[예제8] 참고 서적에서 찾아서 직접 한문제를 풀어보시오.


[연습문제 6.2]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.