'98 선형대수학 OCU 8장 3절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 6 장 고유값과 고유벡터


 고유값을 의미하는 eigenvalue라는 단어는 Dirac이 명명했다고 알려져 있으며, Ax=λx라는 방정식은

양자역학에 등장하는 고유값문제 Hφ=Eφ에서 유래되었는데 이 방정식을 풀면 파동함수 φ와

지의 값 (에너지 고유값) E를 구할 수 있다.

고유값은 이론적으로도 중요할 뿐만 아니라 미분방 정식의 해, 행렬의 거듭제곱 등을 구할 때도

이용된다. 이 장에서는 행렬의 고유값과 고유벡터를 알아보고 이 것을 이용하여 주어진 행렬을

대각화하는 문제를 살펴 본다.


OCU 8장 3절

6.3 대칭행렬의 대각화


 정리 6.4 대칭행렬의 고유값은 모두 실수이다.


[예제1]


정 의 정사각행렬 A에 대하여 A-1=AT이면 A를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 한다.


          위 정의로부터 다음은 서로 동치임을 쉽게 알 수 있다. 이것의 증명은 연습문제로 남긴다.

          (1) A가 직교행렬이다.

          (2) ATA=In=AAT


[예제2]


앞 절에서 우리는 이미 대각화에 관한 문제들을 다루어 왔다. 이제 좀 더 특별한 경우를 정의하자.


정 의 정사각행렬 A에 대하여 A를 대각화하는 직교행렬 P가 존재할 때  즉,

                                  P-1AP=D 또는 PTAP=D

          인 직교행렬 P와 대각행렬 D가 존재할 때 A는 직교대각화가능(orthogonally           diagonalizable)하다고 하며 P는 A를 직교대각화하는 행렬이라 한다.


이제, 어떤 행렬들이 직교대각화가능하며 이때 직교대각화하는 행렬은 무엇인가를 알아 보자.


정리 6.5 n차 정사각행렬 A에 대하여 다음은 동치이다.

               (1) A는 직교대각화가능하다.

               (2) A는 대칭행렬이다.


정리 6.6 A가 대칭행렬이면 A는 n개의 고유벡터들의 정규직교집합을 갖는다.

[증명]


[예제3]


[예제4]


[연습문제6.3]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.