'98 선형대수학 OCU 9장 2절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 7 장 복소벡터공간


 실수행렬도 고유값으로 복소수를 가질 수 있으므로 복소벡터공간을 이해하여야만 행렬을 충분히 활용할 수 있다. 복소벡터 공간은 실벡터공간과 매우 유사하지만 내 적을 생각할때는 좀 더 주의를 해야 한다. 복소벡터공간에서는 Schur정리, Jordan 표준형을 이용하여 주어진 문제를 단순화 할 수 있다. 그리고 일반적인 행렬을 대각 행렬이나 Jordan 표준형으로 바꾸어 주면 전체적인 이론의 전개과정이 단순화되어 같은 결론을 보다 쉽게 얻을 수 있다.


OCU 9장 2절

7.2 복소내적공간


 정 의 Cn의 두 벡터 u=(u1, u2, ... ,un), v=(v1, v2, ... ,vn)의 유클리드 내적 u·v, u의 유클리드 노름            ||u||, u 와 v 사이의 유클리드거리 d(u, v)를 각각 다음과 같이 정의한다.

        


[예제1]


정 의 복소벡터공간 V의 임의의 벡터u, v, w와 스칼라 c∈C에 대하여 다음 조건을 만족하는 V×V에서           C로의 함수 < , >를 V의 내적 (또는 Hermitian 내적)이라 한다.

       

          내적을 갖는 복소벡터공간을 복소내적공간(complex inner product space) 또는 유니타리

       공간(unitary space)이라 한다. 또한, 영아닌 복소벡터 u, v에 대하여, <u, v>=0이면 u 와 v는

       직교한다(orthogonal)고 한다.

          내적공간의 정의로 부터 다음 성질을 바로 얻을 수 있다.

        


[예제2]


[예제3]


정 의 복소내적공간 V에서 벡터 u의 노름(norm)과, V의 두 벡터 u, v

          사이의 거리(distance)를 각각 다음과 같이 정의한다.

         


[예제4]


정리 7.3 복소내적공간 V의 임의의 벡터 u, v에 대하여 다음이 성립한다.

                (1) |<u, v>|≤||u||||v|| (Cauchy-Schwarz 부등식)

                (2) ||u+v||≤||u||+||v|| (삼각 부등식)

[증명]


[예제5]


        유클리드 내적이 정의되어 있는 복소내적공간 C^n의 두 벡터

     

       이다. 이것을 각각 Cn 에서의 Cauchy-Schwarz 부등식, 삼각부등식이라고 한다.


[연습문제 7.2]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.