'98 선형대수학 OCU 9장 3절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 7 장 복소벡터공간


 실수행렬도 고유값으로 복소수를 가질 수 있으므로 복소벡터공간을 이해하여야만 행렬을 충분히 활용할 수 있다. 복소벡터 공간은 실벡터공간과 매우 유사하지만 내 적을 생각할때는 좀 더 주의를 해야 한다. 복소벡터공간에서는 Schur정리, Jordan 표준형을 이용하여 주어진 문제를 단순화 할 수 있다. 그리고 일반적인 행렬을 대각 행렬이나 Jordan 표준형으로 바꾸어 주면 전체적인 이론의 전개과정이 단순화되어 같은 결론을 보다 쉽게 얻을 수 있다.


OCU 9장 3절

7.3 특수행렬


정 의 복소행렬A=[aij]{m×n}에 대하여 A-

          

           위의 정의로부터 행렬 A의 모든 성분이 실수이면 A*=AT이고, 유클리드 내적이 정의되어 있는            복소내적공간 Cn 에서  다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

                                    


[예제1]


정리 7.4 복소행렬 A, B와 임의의 복소수 c에 대하여 다음이 성립한다.

             


정 의 복소행렬 A 가 A=A* 이면, A 를 Hermitian행렬이라 한다.


[예제2]


정리 7.5 행렬 A∈Mn(C)가 Hermitian행렬일 때, 다음이 성립한다.

                (1) 임의의 복소벡터 x∈Cn에 대하여 x*Ax는 실수이다.

                (2) A의 고유값은 모두 실수이다.

                (3) A의 서로 다른 두개의 고유값에 대응하는 각각의 고유벡터는 서로 수직이다.

[증명]


[예제3]


정 의 복소행렬 A 가 A=-A* 이면 A를 반-Hermitian (skew-Hermitian) 행렬이라 한다.


[예제4]


정 의 행렬 U∈Mn(C)가 U*U=In이면 U를 유니타리(unitary)행렬이라고 한다.

          정의에 의하여 U가 유니타리행렬이면 U*=U-1이다. 또한, U 의 j번째 열벡터를uj라 하면

                                

          이므로 U가 유니타리행렬일 필요충분조건은 U의 열들이 정규직교집합을 이룬다.


[예제5]


정리 7.6 Cn에 유클리드 내적이 정의되어 있고 U가 유니타리행렬이면 다음이 성립한다.

                (1) x, y∈Cn에 대하여 <Ux, Uy>=<x, y>이다. 특히, ||Ux||=||x|| 이다.

                (2) λ가 U의 고유값이면 |λ|=1 이다.

                (3) U의 서로 다른 두개의 고유값에 대응하는 각각의 고유벡터는 직교한다.

[증명]


[연습문제 7.3]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.