'98 선형대수학 OCU 10장 2절

웹노트(LA Web Note)

이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) 의 Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.

제 3 장 벡 터

우리 주위에는 온도, 시간, 길이, 높이 등과 같이 수(number)를 가지고 완전히 나타낼 수 있는 "크기"만을 가지는 양 이 있는가 하면 "크기"와 "방향"을 둘 다 가지는 양도 있다. 예를들어, 크기만 을 가지고 "배가 10 km 로 항해한다" 하면 이 배가 어디로 가는지를 알 수 없다. 그래서 방향까지를 설정하여 " 배가 남쪽을 향해 10 km 로 항해한다"고 해야 이 배가 항해하는 것을 완전히 나타낼 수 있다. 이때, 크기만을 가지는 양을 스칼라(scalar)라 하고 크기와 방 향 모두를 가지는 양을 벡터(vector)라 한다. 우리는 3차원 공간에서 이러한 벡터의 기본성질을 알아보고 Rⁿ으로 확장한다.

OCU 10장 2절

3.3 직선과 평면의 방정식

R³에서의 직선의 방정식

한 점 P₀(x₀, y₀, z₀)를 지나고 영 아닌 벡터 a = ai+bj+ck에 평행한 직선은 벡터 a와 P₀P^→가 평행 즉, P₀P^→=ta, (t∈R) (1)

를 만족하는 점 P(x, y, z) 전체의 집합과 같다 (그림 3.10).

식 (1) 로부터

(x-x₀)i+(y-y₀)j+(z-z₀)k=tai+tbj+tck

이므로 R³에서의 직선의 방정식은 다음과 같이 세가지로 나타낼 수 있다.

(i) 매개변수방정식(parametric equations) :

x=x₀+ta

y=y₀+tb (-∞< t <+∞)

z=z₀+tc,

(ii) 벡터 방정식(vector equations) :

p=p₀+ta, (p=OP^→, p₀=OP₀^→)

(iii) 대칭방정식 (symmetric equations) :

(x-x₀)/a=(y-y₀)/b=(z-z₀)/c, (a, b, c ≠0)

R³에서의 평면의 방정식

한 점 P₀(x₀, y₀, z₀)를 지나고 영아닌 벡터 n=ai+bj+ck에 수직인 평면 π는

n·P₀P^→=0 (2)

을 만족하는 점 P(x, y, z) 전체의 집합과 같다(그림 3.11). 여기서 n을 평면 π의 법선벡터(normal vector)라 한다.

식 (2) 로부터

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0 (3)

이다. 이때 d=-ax₀-by₀-cz₀라 하면 식 (3) 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

ax+by+cz=0 (4)

식 (4)를 일반적인 평면의 방정식이라 하며, 이 평면의 법선벡터는n=(a, b, c)이다.

벡터의 정사영

벡터 x=OP^→와 y=OP^→가 R³에 있다 하고 y≠0라 하자. 그러면 점 P에서 직선 OQ에 내린 수선의 발을 R이라 할 때, 벡터 x₁=OR^→를 y 위로의 x의 정사영(projection)이라 하고

proj_y x

로 나타낸다. 이때, 벡터x₂=RP^→를 y에 수직인 x의 벡터성분(vector component)이라 한다

(그림 3.12).

따라서 그림 3.12에서 보듯이 x 는 두 벡터의 합

x=x₁+x₂

로 나타내진다.

정리 3.4 R³의 벡터 x, y≠0에 대하여 u=y/||y||일때, 다음이 성립한다.

(1) proj_y x=(x·u)u

(2) ||proj_y x||=|x·u|

정리 3.5 R³의 한점 P에서 직선 l에 이르는 거리 D는 다음과 같다.

여기서, Q, R은 직선 l 위에 있는 임의의 서로 다른 두 점이다.

정리 3.6 점 P₀(x₀,y₀,z₀) 와 평면 π:ax+by+cz+d=0 사이의 거리 D는

다음과 같다.

[연습문제 3.3]

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본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다. 1998. 7.