'98 선형대수학 OCU 10장 4절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 4 장 벡 터 공 간


  3장에서 다룬 벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 여기에 그치지 않고 수학체계의 일반적인 이론으로서 수학의 여러분야에 적용됩니다. 이 장에서는 벡터공간을 정의하고, 정의를 이용하여 벡터공간의 이론을 추상적으로 개발할 것입니다. 이러한 접근방법은 추상적인 현대수학에 대한 최초의 진지한 소개가 될 것입니다.


OCU 10장 4절

4.7 좌표벡터와 좌표변환


  집합 S={x1, x2, ... ,xn}이 n차원 벡터공간 V의 기저이면 V에 속하는 모든 벡터 x는 이 기저에 관하여 다음과 같이 표현된다.

 x=c1x1+c2x2+ ... +cnxn=0  (c1, c2, ... ,cn∈R) (1)


정 의    식 (1)의 스칼라 c1, c2, ... ,cn을 순서기저(ordered basis) S에 관한

           벡터 x의 좌표(coordinates)라  한다. 또한 Rn의 벡터

 

           을 기저 S에 관한 x의 좌표벡터(coordinate vector)라 하며, [x]S 로 나타낸다.


[예제1]


일반적으로, Rn의 표준기저S={e1, e2, ... ,en}에 관한 x=(a1, a2, ... ,an)의 좌표벡터 [x]S는 다음과 같다.

   


[예제2]


[예제3]


정리 4.14     집합 S가 n차원 벡터공간 V의 기저일 때, V의 벡터 x, y와

                 스칼라 c∈R에 대하여 다음이 성립한다.

                 (1) [x+y]S=[x]S+[y]S

                 (2) [cx]S=c[x]S

[증명]


일반적으로, 집합 S가 n차원 벡터공간 V의 기저일 때, vi∈V, ci∈R (i=1, 2, ... ,n) 에 대하여 다음이 성립한다.

                                

좌표벡터를 이용하면 임의의 n차원 벡터공간 V의 부분집합 S가 V의 기저인지 아닌지를 Rn에서 쉽게 알 수 있다.


정리 4.15 V가 n차원 벡터공간이고, 집합 B={x1, x2, ... ,xn}가 V의 한 기저라 하자.

               이때 집합 S 와 T를 각각

                  

               라 하면 다음이 성립한다.

               (1) x∈<S> ⇔ [x]B ∈<T>

               (2) S가 V에서 일차독립일 필요충분조건은 T가 Rn에서 일차독립인 것이다.

[증명]


정리 4.16 B가 n차원 벡터공간 V의 기저일 때 S, T을 각각

          

           라 하면 S가 V의 기저일 필요충분조건은 T가 Rn의 기저인 것이다.


[예제4]



[예제5]


[예제6]


정리 4.17 두 집합 S와 T를 n-차원 벡터공간 V의 서로 다른 기저라 하고 P를 기저 T에서

                  기저 S로의 전이행렬이라 하자. 그러면 P는 가역이고 P-1는 기저 S에서 기저 T로의

                  전이행렬이다. 즉,

P-1=[I]{S}{T}.

[증명]


[예제7]


[연습문제 4.7]


Quiz

starfish.gif  이번주는 Project를 확인하는 주입니다.  개인적인 연구는 잘 되가나요? 근황을 알려주세요!


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수에게 있습니다.   1998. 7.