'98 선형대수학 OCU 11장 1절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 5 장 선형변환과 행렬

4장에서 행렬들의 집합이 두개의 연산에 의하 여 벡터공간이라는 대수적 구조체로서 다시 태 어나는 것을 보았다. 이 장에서는 임의의 벡터 공간의 구조를 보존한다는 의미를 갖는 함수인 선형변환에 관하여 알아본다. 또한 n-차원 벡 터공간 V에서 m-차원 벡터공간 W로의 선형 변환은 m×n행렬 A를 이용하여 나타낼 수 있 음을 보이고, R^2에서 R^2로의 선형변환에 대한 기하학적 의미를 살펴본다.    


OCU 11장 1절

5.4 선형변환의 행렬


  n 차원 벡터공간 V와 m차원 벡터공간 W의 순서기저를 각각 S={x1, x2, ... ,xn}, T={y1, y2, ...,yn}라  하고 L:V→W를 선형변환이라 하자. 그러면 각 벡터xj∈V 에 대하여 L(xj)는 W의 벡터이고, T 가 W의  기저이므로 L(xj)는 다음과 같이 유일한 일차결합을 갖는다.

   
    이때, 이 행렬 A=[aij]를 기저S 와T에 관한 선형변환L의 행렬이라 하고, 간단히 기호로

    다음과 같이 표시한다.

A=[L]{S, T}

     특히, V=W일 때 선형변환 L:V→V을 선형작용소(linear operator)라 한다.

     이 경우 기저를 S=T로 택하여 위와 같은 방법으로 얻어진 행렬 A를 기저S에 관한

   선형변환L의 행렬이라 하고, 기호로 A=[L]S 로 표시한다.


정리 5.7 n차원 벡터공간 V와 m차원 벡터공간 W에 대하여 L:V→W를 y=L(x) (x∈V)로

               정의된 선형변환이라 하고, S={x1, x2, ... ,xn} 와 T={y1, y2, ... ,yn} 를

                각각 V와 W의 순서기저라 하자. 그러면

                [y]T=A[x]S 이고, 이러한 행렬A는 유일하게 존재한다.

[증명]


다음 그림 5.5는y=L(x)로 정의된 선형변환 L:V→W의 A에 의한 행렬표 현을 예시하여 준다.  


[예제1]


 【주】 위의 예제 1에서 보았듯이 특히, 선형변환이 L:Rn→Rm이고 S={x1, x2, ... ,xn},

             T={y1, y2, ... ,ym}가 각각 Rn 과 Rm의 임의의 순서 기저이면,

             다음과 같은 방법으로 쉽게 A=[L]{S, T} 를 구할 수 있다.

             행렬  [y1 y2 ··· ym| L(x1)| L(x2)|···| L(xn)]을 다음과 같은 형태의 RREF로 변환한다.

[In | A]  


[예제2]


[예제3]


[예제4]


[연습문제 5.4]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.