'98 선형대수학 OCU 11장 2절

웹노트(LA Web Note)

 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) 의 Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.

제 8 장 이차형식

  행렬을 기하학과 연결시켜주는 이차형식의 이론은 앞에서 배운 내적과 고유값에 관련된 문제 뿐만 아니 라 해석기하학이나 전기공학, 통계학등 많은 분야에서 이용된다. 특히, 최적화 이론에서는 필수적인 수단이 된다.

OCU 11장 2절

8.1 이차형식과 원뿔곡선

• 이차곡선의 방정식

        두 변수 x, y 를 갖는 이차방정식은

ax² +2bxy+cy² +dx+ey+f=0                    (1)

정 의 

       (2)

        을 이차방정식 (1)에 관한 이차형식이라고 한다.

[예제1]

정 의  A=[a_ij]가 n차의 실대칭행렬이고, n개의 변수 x₁,x₂ , ... , x_n 을 성분으로 갖는

           을 Rⁿ상의 이차형식이라한다.

• 원뿔곡선(conic section)

     두 변수 x, y 를 갖는 이차방정식 (1)의 그래프는 원뿔곡선(conic section)임을 보이자. 원뿔곡선이란 용어는 평면이 원뿔과 교차될때 생기는 곡선에서 유래된 말이다. 방정식 (1)을 만족하는 점 (x, y)∈R² 가 없을 때는 식 (1)을 허 원뿔곡선(imaginary conic)의 방정식이라 한다. 또한, 방정식 (1)의 그래프가 한 점, 한 직선, 또는 한 쌍의 직선으로 이루어지거나 존재하지 않을 때, 이 그래프를 퇴화원뿔곡선 (degenerate conic)이라고 한다. 이 경우는 단순하므로 우리가 좀더 관심을 갖는 경우는 퇴화되지 않는 정상적인 경우이다. 정상적인 원뿔곡선(nondegenerate conic section)의 그래프는 타원, 쌍곡선 또는 포물선이 된다.

• 표준위치(standard position)에 있다

        원뿔곡선의 방정식이 다음의 식 (3), (4), (5)로 표현되면 이 원뿔곡선은

        표준위치(standard position)에 있다고 한다.

 
     식 (3), (4), (5)중 어떤 것도 x² 항과 x항을 동시에 포함하거나, y²항과 y항을 동시에 포함하지는 않는다. 이차방정식에서 x² 항과 x항, y² 항과 y항을 갖는 이차방정식의 그래프는 다음의 예제에서 보듯이, 표준위치로 부터 평행이동된 원뿔곡선이다.

[예제2]

[예제3]

[예제4]

[연습문제 8.1]

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본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.