'98 선형대수학 OCU 11장 3절

웹노트(LA Web Note)


 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.


제 8 장 이차형식


  행렬을 기하학과 연결시켜주는 이차형식의 이론은 앞에서 배운 내적과 고유값에 관련된 문제 뿐만 아니 라 해석기하학이나 전기공학, 통계학등 많은 분야에서 이용된다. 특히, 최적화 이론에서는 필수적인 수단이 된다.


OCU 11장 3절

8.2 이차형식의 대각화


        이차방정식에서 xy항을 교차항이라 한다. 교차항을 갖는 이차방정식의 그래프를 쉽게 그리는         방법은 좌표계를 직교변환에 의해 회전하여 교차항을 제거하는 것이다.

        이차형식

q(x)=xTAx=ax2 +2bxy+cy2               (1)

        은 b≠0 이라면 교차항을 갖는다.


정리 8.1 (R2 주축정리)

  대칭행렬 A∈M2(R)의 고유값을 λ1, λ2라 할 때, 좌표축의 회전에 의하여 이차형식 q(x)=xTAx는   새로운 x'y'-좌표계에서

q(x')=λ1(x')22(y')2               (2)

  으로 표현될 수 있다. 이 회전은 행렬식이 1이고 A를 대각화하는 직교행렬을 P 라 할 때 x=Px'이라는   치환에 의하여 얻어진다.

[증명]


[예제1]


[예제2]


이차형식 (1)을 식 (2)와 같이 제곱항의 합으로만 간단히 나타내는 것을 이차형식의 대각화라고 한다. 


이차형식의 대각화를 이용하여 3차원 곡면에 대하여 알아보자.

이차형식 (1) 을

                         z=ax2 + 2bxy+c                       (7)

라 하고 이것을 대각화하면 회전된 x'y'z-좌표계에서는

                        z=λ1(x')22(y')2                  (8)

으로 변환 되므로 R3상에서 식 (7) 의 그래프를 쉽게 알 수 있다.

식 (8) 에서 λ1, λ2 가 모두 양이라면, 이 그래프는 위쪽이 열린 포물면(paraboloid)이다. 또한 , λ1, λ2 가 모두 음이라면 아래쪽이 열린 포물면이다. 이러한 포물면의 수평절단면은 타원이므로 타원포물면(elliptic paraboloid)이라고 한다. 또한 식 (8) 에서λ1, λ2 가 모두 영이 아니고 서로 다른 부호이면, 이 그래프는 안장 모양의 쌍곡포물면(hyperbolic paraboloid)이 된다. λ1, λ2 중 하나가 영이라면, 그래프는 포물기둥(parabolic cylinder)이 된다.


[예제3]


[연습문제 8.2]


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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.