'98 선형대수학 OCU 11장 4절

웹노트(LA Web Note)

 이곳은 열린가상대학(Open Cyber University)에 소개하는 이상구 교수(Dr. Sang-Gu Lee) 의 Linear Algebra WebNote 입니다. 학부 선형대수학의 강의록과 과제, Quiz와 답, 중간시험문제는 물론 토론을 위한 자유계시판, 예등이 있습니다.

제 8 장 이차형식

  행렬을 기하학과 연결시켜주는 이차형식의 이론은 앞에서 배운 내적과 고유값에 관련된 문제 뿐만 아니 라 해석기하학이나 전기공학, 통계학등 많은 분야에서 이용된다. 특히, 최적화 이론에서는 필수적인 수단이 된다.

OCU 11장 4절

8.3 이차형식의 부호와 극값

 정 의  행렬 A∈Mn(R)가 대칭행렬일 때, 이차형식 q(x)=xTAx가 임의의 x≠0 에 대하여 q(x)>0이면 양의 정부호(positive definite), q(x)<0이면 음의 정부호(negative definite)라 한다. 또한, 어떤 x에 대하여는 q(x)>0 이고, 어떤 x에 대하여는 q(x)<0 이면 부정부호(indefinite) 라 한다.

[예제1]

 정리 8.2 ( R3 의 주축정리)

   q(x)=xTAx 를 대칭행렬 A∈M3(R) 의 이차형식이라 하고 P는 A를 대각화하는 직교행렬이라 하자. 그러면 치환 x=Px'에 의하여 λ1, λ2, λ3 가 A의 고유값이라 할때 q(x)는 다음과 같이 나타낼 수있다.

                                q(x')=λ1((x1)')2+λ2((x2)')2+λ3((x3)')2           (1)

[증명]

정리 8.3 행렬 A∈M3(R) 가 대칭행렬일 때, A의 이차형식 q(x)=xTAx는 다음을 만족한다.

               (1) A의 고유값들이 모두 양이라면 q(x)는 양의 정부호(positive definite) 이다.

               (2) A의 고유값들이 모두 음이라면 q(x)는 음의 정부호(negative definite) 이다.

               (3) A가 양의 고유값과 음의 고유값를 모두 가지면 q(x)는 부정부호(indefinite) 이다.

이차형식 q(x)의 행렬 A의 각 고유값이 λi≥0 이면 양의 준정부호(positive semidefinite), λi≤0이면 음의 준정부호(negative semidefinite)라 한다. 예를 들면

이차형식 g4 (x,y)=2x2은 양의 준정부호이다.

[예제2]

[예제3]

정 리 8.4 q (x,y)=ax2 +2bxy+cy2을 x와 y에 대한 이차형식이라 하고

                 △=ac-b2 ≠0 이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

                 (1) △>0이고 a>0이면 q는 양의 정부호 이다.

                 (2) △>0이고 a<0이면 q는 음의 정부호 이다.

                 (3) △<0이면 q는 부정부호 이다.

[증명]

[예제4]

 정리 8.4는 n차원으로 자연스럽게 일반화가 가능하다. 대칭행렬

 

  이라할 때, △1, △2, ... ,△n을 A의 선행 주 소행렬식(leading principal minors)이라고 한다.

정리 8.5 대칭행렬 A∈M(R) 의 정상적인 이차형식 q(x)=xTAx 에 대하여 다음이 성립한다.

               (1) q가 양의 정부호일 필요충분조건은 모든 k=1,2,......n에 대하여 △k>0 이다.

               (2) q가 음의 정부호일 필요충분조건은 모든 k=1,2,.......,n에 대하여(-1)k△k>0 이다.

[예제5]

임계점(critical point) : f의 일계편도함수는 a에서 모두 0.

f의 Hessian 행렬 :x=a에서 f의 이계 편도함수를 성분으로 가지는 다음과 같은 n차의 대칭행렬 H

 

   x=a 에서 함수 f의 이차형식은 q(x)=xTAx 로 정의한다. 여기서 H는 (3)과 같은 Hessian 행렬이다.

정리 8.6  함수 f:Rn →R가 임계점 x=a에서 연속인 3계편도함수를 갖고, 이 점에서 f의

                 이차형식을 q(x)=xTHx 라고 할 때, 다음이 성립한다.

                 (1) q가 양의 정부호이면 f(a)는 극소값이다.

                 (2) q가 음의 정부호이면 f(a)는 극대값이다.

                 (3) q가 부정부호이면, f(a)는 극대값도 아니고 극소값도 아니다.

                 이때, x=a 를 안장점(saddle point)이라고 한다.

  정리 8.6 에서 n=2 일때 f 가 이변수함수가 되고 f의 Hessian행렬이 (4)와 같으므로 정리 8.5 와 8.6 에 의하여 미적분학에서 배운 이변수함수의 극대극소판정법을 얻는다.

[예제6]

[예제7]

[연습문제 8.3]

그가 한 학기 수고 많이 하셨습니다. 이제 좀 쉬고 복습한후 기말고사를 보면 모든 수고는 결실을 맺습니다. 동참에 감사하며 지난 시험문제의 예를 보시며 준비하세요. sample 시험문제는  여기를 누르거나 마우스의 오른쪽 키를 대고 다른 이름으로 저장을 누르시오

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starfish.gif 본 자료의 판권은 이상구교수와 OCU에 있습니다.   1998. 7.