예 (Examples)


예 1. (n-공간)

Rn을 n개의 실수 a1, ..., an들로 이루어진 n-짝(n-tuple) (a1, ..., an)으로 이루어진 집합이라고 한다. Rn에서 벡터합과 스칼라에 의한 곱을 각각
(a1, ..., an) + (b1, ..., bn) = (a1 + b1, ..., an + bn),
c(a1, ..., an) = (ca1, ..., can)
 
으로 정의한다. 여기서 a1, ..., an, b1, ..., bn, c들은 모두 실수이다.
그러면 Rn벡터공간이다. 이를 n차원 유클리드 공간(n-dimensional Euclidean space) 또는 간단히 n-공간(n-space)이라고 한다. 

참고

두 개의 n-짝 (a1, ..., an)과 (b1, ..., bn)에 대하여
a1 = b1, ..., an = bn

이 성립할 때 주어진 두 n-짝 (a1, ..., an)과 (b1, ..., bn)은 같다고 하고, 기호

(a1, ..., an) = (b1, ..., bn)

으로 나타낸다.

따라서 두 3-짝 (1, 2, 0)과 (2, 1, 0)은 서로 다르다.

예 1에서 실수의 집합 R을 유리수의 집합 Q 또는 복소수의 집합 C로 대체할 수 있다. 즉, QnCn도 벡터공간이다. 단, 벡터공간 Qn에서는 보통 Q의 원소 즉 유리수를 스칼라로 간주하며, 벡터공간 Cn에서는 보통 C의 원소 즉 복소수를 스칼라로 간주한다.