선형대수(Linear Algebra) 공부방 [ 선형대수 Top | 정의 | 정리 | 예]

정의(Definitions)

정의 1. (벡터공간)

V는 집합이고, V에는 벡터합(vector addition)(또는 벡터 덧셈)이라고 부르는 연산 즉, V의 두 원소 u, v에 V의 원소 u+v를 대응시키는 연산과
스칼라에 의한 곱(multiplication by scalars)이라고 부르는 연산 즉, V의 원소 u와 수(이를 보통 스칼라(scalar)라고 부름) a에 V의 원소 au를 대응시키는 연산이 정의되어 있다고 하자. 이 두 가지 연산이 다음 8가지 조건을 만족할 때 V를 벡터공간(vector space)이라 하고, V의 원소를 벡터라고 한다.

참고

정의 1의 조건 (iii)에서 O를 V의 영벡터(zero vector)라고 한다. 또 조건 (iv)에서 u'을 u의 덧셈에 관한 역원이라고 하며, 보통 기호 -u로 나타낸다. 조건 (i), 조건 (ii)를 각각 벡터 덧셈의 교환법칙(commutative law), 벡터 덧셈의 결합법칙(associative law)이라고 한다. 특히 (ii)에 의하여 벡터공간안의 세 벡터 u, v, w의 합을 괄호 없이 u + v + w로 나타내기도 한다.

정의 2. (부분공간)

v1, ... , vn이 W가 벡터공간 V의 부분집합이라 하자. 다음 세 조건이 성립할 때 W를 V의 부분공간(subspace)이라고 한다.

참고

정의 2에서 조건 (ii)를 보통 W는 벡터 덧셈에 관해 닫혀 있다고 하며, 조건 (iii)을 보통 W는 스칼라에 의한 곱셈에 관해 닫혀 있다고 한다.

정의 3. (일차결합)

v1, ... , vn이 벡터공간 V의 벡터들이고, a1, ... , an이 스칼라들일 때
합 a1v1 + ... + anvn을 벡터 v1, ... , vn의 일차결합(linear combination)이라고 한다.

정의 4. (일차독립, 일차종속)

벡터 v1, ... , vn의 일차결합 a1v1 + ... + anvn가 영벡터와 같아지는 경우가
오직 a1 = ... = an = 0 인 경우 뿐일 때 벡터 v1, ... , vn은 일차독립(linearly independent)이라고 한다. 그렇지 않을 때 즉, 스칼라 a1, ... , an중에 0이 아닌 것이 있는데도 불구하고 일차결합 a1v1 + ... + anvn가 영벡터와 같아지는 경우가 생길 때 벡터 v1, ... , vn은 일차종속(linearly dependent)이라고 한다.

정의 5. (생성한다)

W가 벡터공간 V의 부분공간이라고 하자. W안의 임의의 벡터 u가 벡터 v1, ... , vn의 일차결합으로 표시되고, 또 역으로 벡터 v1, ... , vn의 일차결합으로 표시되는 모든 벡터가 W에 속할 때 벡터 v1, ... , vn은 W를 생성한다(span)고 한다.

정의 6. (기저)

벡터공간 V안의 벡터 v1, ... , vn이 다음 두 가지 조건을 만족할 때 집합 {v1, ... , vn}을 벡터공간 V의 기저(basis)라고 한다.

정의 7. (차원)

벡터공간 V안의 기저가 n개의 벡터로 이루어져 있을 때 벡터공간 V의 차원(dimension)은 n이라 하고, 기호 dim V = n 으로 나타낸다. 모든 자연수 k에 대하여 V안에서 일차독립인 벡터 v1, ... , vk 가 존재할 때 V를 무한차원 벡터공간이라 하고, 기호 dim V = ∞ 로 나타낸다.

참고

만일 벡터공간 V의 두 기저가 서로 다른 개수의 벡터들로 이루어져 있다면, 정의 7에서 차원의 정의는 잘 못된 것이다. 그러나 정리 7에 의하여 두 기저는 같은 개수의 벡터들로 이루어져 있으므로 정의 7에서 차원의 정의는 잘 정의된 것이다.

정의 8. (기저에 관한 좌표)

집합 B = {v1, ... , vn} 이 벡터공간 V의 기저 라고 하자.   V안의 벡터 v가 일차결합 c1v1 + ... + cnvn 으로 표현될 때 스칼라 c1, ... , cn 들의 n-tuple (c1, ... , cn) 을 벡터 v의 주어진 기저 B 에 관한 좌표라고 한다.

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