1800-1870 대수학의 발전.

 (인용)  Math Monthly 1995 Mar.            

1801년 C. F. Gauss의 수학 논문은 이 기간 동안에 발표된 첫번째 주요 결과였다. Gauss 는 그  논문에서 다룬 일곱분야 중에서 오직 한 분야만을 대수학에서의 주요 문제인,  cyclotomic 방정식 xn-1=0, 에 할애하여 논 하였다. 그러나 저자의 뛰어난 대수적인 아이디어는 다른 모든 분야에도 잘 반영되어있다.  그 논문, 즉 algebraic number theory의 획기적인 접근법은 오랜 시간동안 대수학의 발전에 대한  원천이며 고전이 되었다.  Gauss는 "방정식의 해법은 근의 관점에서 표현된다"고 했는데 이의 의미는 "모든 n에 관해서 Cyclotomic 방정식을 풀 수 있다"는 것이다. 그는 논문에서 실제로 해법을 분명하게 보여 주었다. 그리고 "자와 콤파스(ruler, compass)만을 이용하여 모든 정 n 각형을 작도하는 것이 가능하다"라는 것도 Cyclotomic 방정식의 연구과정에서 보여줬다. 대부분의 그의 논문은 굉장히 난해하면서도 아주 상세하게 기술되었다. 이어서 주요 결과인 "The insolvability by radicals of the general quintic"을 증명하는 것은 N.H. Abel에 의해 계속되었고 지금도 그의 이름을 따서 불려지고 있다. 더구나 field와 group이라는 새로운 개념이 Abel의 paper에서 명확하게 나타났다. 다음 단계에서 1830-1832년 사이에 미완의 상태로 출판된 이 이론은 젊은 나이에 죽은 E. Galois에 의해 시작되었고 E. Galois가 죽은후인, 1846년에 Liouville에 의해 더욱 자세히 정립되었다.

   Abel과 Galois의 paper는 대수의 기본적인 성향과, 현대 대수학의  기본적인 개념을 포함하고 있다. Galois가 고대의 방정식을 푼 업적은,  문제 자체를 보는 사고를 전환시켜 놓았다고 볼 수 있다. 그는 "the subgroups of the group of an equation 과 the subfields of the splitting field of the polynomical on the left side of that equation 사이의 명확한 관계"를 보임으로 Field와 Group의 개념을 명확하게 정의 하였다. 그리고 Group안에서 normal subgroup을 선별했고 composition series를 연구했다. 이것은 새롭고 획기적인 연구논문의 결실이었다. 그럼에도 불구하고 그 연구 내용은 70대에 들어서야 수학자들에 의해 완전히 이해되어졌다. 그 한가지 이론은 "group of substitutions"인데, 이러한 group은 Galois에 의한 40년대 연구 논문에 소개 된 것이다.

    다른 group 이론의 근원은 Gauss의 "composition of class of form 이론"이었다. 이 이론은 수와 매우 다른 어떤 사물의 수의 analogous 덧셈(곱셈) 조작에 적용되어있다. Gauss의 판별식 형태의 연구는 주기적이고 일반적인 abelian group의 기본 속성에 관한 연구였다.

   Gauss의 paper에서 주목할 만한 두 부분은 1828년과 1832년에 발행된 " The theory of biquadratic residues" 에 있다. 이 이론에서 Gauss는 복소수의 기하학적인 해설 뿐만아니라,  2000년 이상이나 유리수에서 분리할 수 없을것 같던 모든 수의 개념을 복소수로 통합시켰다. Gauss는 보통의 계산법과 완전히 유사한 복소수 계산법을 찾아 냈고, 4차방정식의 상호관계 원리를 이 새로운 수로 공식화하여 사용했다. 이것은 수학에서 무한의 새로운 작업 공간이 열린 것을 의미한다. 곧 Einsenstein과 Jacobi가 이를 공식화 하였고 "cubic reciprocity의 원리"를 증명했다. 그리고 k+mp, p3=1, ρp=/ 1 형태의 수를 구하는데 사용했다. 1846년 P.Lejeune-Dirichlet는 "all units (that is invertible elements) of the ring of integers of field Q(theta), where theta is a root of xn + a1xn-1+ ... + an0 = 0, ai∈ 정수" 을 발견했다. 대수이론 발전에 중요한 연구를 포함하고 있는 이 paper는 group이론의 관점에서 보면,  아주 많은 흥미를 갖게한다. Dirichlet는 infinite abelian group에서 중요한 예를 생각해냈고, 그것의 구조를 연구했다.

     좀더 진보한 대수 이론은 상호관계 원리를 Fermat theorem으로 연결 시켜 줬다. E. Kummer는 fields Q(eta), ζetap=1, ζeta=/ 1. 계산법을 가져옴으로써 이 이론을 증명하려고 시도했다. 1844-1847년에 Kummer는 field Q(eta)에서 분해할 수 없는 정수를 소수라 정의한다면, 인수분해 원리가 Q(eta)의 정수에선 성립하지 않는다는 것을 발견했다. 그렇게 함으로써 그는 대수에서 희미하나마  추상적인 이론의 기초를 만들었다.  이런 Kummer의 방법은 소역적이었으며 이런  대수 이론은    이어서  E.I. Zolotarev, K. Hensel 그리고 다른 학자들에의해 계속 연구되어, 지금은 가환 대수로 발전되었다.  이미 많은 연구가 되어 있어 선진국과 경쟁할 새 결과를 내려면 기초를 많이 공부해야 할 것이다.

 

    Linear algebra는 19세기 중반까지 발전이 계속 되었다. Linear algeba의 발달은 두 다양한 integral quadratic 형태의 상세한 연구에 의해 촉진되어졌으며, Jacobi 는 행렬식의 이론을 완성했다. 이 당시 이 이론에 부족한 것은 행렬식의 기하학적 특징과 무엇보다도 가장 중요하고 기본적인 선형공간의 개념이었다. 처음의 선형공간의 정의는 1844년 H. Grassmann의 Die Lineal Ausdehnungslehre에서 주어졌다. 어렵게 씌여졌지만 많은 새로운 이론을 가진 이 연구는 1862년 책이 출판되고 번역판으로 쉽게 쓰여지며 많은 관심을 끌었다.  특히 그의 업적은 수학외에도 큰 영향을 미쳤고 지금의 유명한 "Grassmann 대수학"이 그 결과이다. 1843년 A. Cayley가 "Chapters in the analytical geometry of dimemsions"에 보인 이론은 내용은 위 보다 덜 풍부했지만 오히려 동시대의 수학자들에게는 더 많이 알려졌다. 선형대수학과 지금은 대수학이론으로 더 잘 알려진 복소수이론의 발달사 사이에는 상당히 많은 관심을 끌 만한 밀접한 관련이 있다. 복소수를 일반화시키기 위한  오랜 기간의 소득 없었던 시도는 1843년이 되어서야 "4원수에 대한 W.R Hamilton의 정리"로 비로서 성공적인 성과를 올렸다. Hamilton은 그의 여생 20년 이상동안 4원수를 연구했다. 그의 연구는 "Lectures on quaternions(1853)","Elements of the theory of quaternions(1866)" 두 가지로 요약된다.

  군론의 더 나은 발전에 대해   설명을 계속하기 위해서라면,  여러분이 졸업시험에서 자주 만나는  A. Cauchy의 이론을 말하지 않을 수 없다. Cauchy는 그가 치환군이론 (대칭군의 부분집합)의 많은 다양성을 증명한 1844-1846년에 "모든 군은  order p의 원소를 갖는 어떤 permutation 군과 동형(isomorphic) 이다"는 유명한 이론을 포함하는 결과들을 발표한 것이다. 군론의 역사에 있어서 더 큰 사건은 세 시기(1854,1859 등)에 기호 "방정식 (theta)n =1의 포함에 따른 군론"이라는 Cayley의 이론이 발표되었다. 영국대학의 연구 분위기에 따라 Cayley는 "군을 주어진 구성법을 가진 모호한 상징적 집합"으로 보고 "군과 동형사상사이의 중요한 개념이 되는 수를 모호한 군론의 기본적인 개념으로 정의"했다. 이 방법은 새로운 추상적인 수학적 사고의 진보에 두드러지는 역할을 한 것으로 여겨진다.

    군론의 발전을 위한 또 하나의 결정적인 계기는 1870년 Jordan의 "Traite des substitutions et des equations algebriques"에서 주어졌다. 이 이론은 이 분야에 있어서 Jardan 자신의 중요한 결과를 포함하면서 Galois 이론의 첫째로 조직적이고 완전한 설명뿐만 아니라 그 때 당시 군론에 대한 세부적 결과의 재시도도 포함하고 있다. 그것에서 Jordan은 또한  스스로가  선형변환인 행렬의  표준형을 연구하여  "주어진 행렬의 Jordan Canonical form 을 구하는 방법"을 소개했다.  Jordan 이론의 발표는 이후 모든 수학의 발전에  결정적인 역할을 했다.

  19세기 중반 대수기하학과 선형대수학의 발전사이에서 그 중간에 서있는 대수학도  연구가  활발해져야만 했다.  그래서 한편으로는 "2차정사각행렬과 선형변환(행렬)의  사이의 관계 연구"로  선형대수학에서의 주제의 일반화와 발전도 갖추었다. 또  다른 한편으로 어떤 구체적인 상황에서의 다음과 같은 질문에 대한 연구도 진행되었다. "명확한 대수적 현상에 의한 몇가지 상호관계에 의해 결정된 기하학적 object가 주어졌다면 이 상호관계에 영향받는 사물의 일정한 기하학적 특성을 얻는 수학적인 방법을 찾아라."  이외에도 , 1840-1870년 사이에 다양한 수학적인 많은 이론들은 다른 구체적인 상황에서 일정한 체계의 결정을  지속적으로 다루었다. Cayley, Eisenstein, Sylvester, Clebsch의 이론이 가장 으뜸이다.  이들과 같이  이러한 상황에서  Hesse에 의한 두가지 이론을 선택한  그것을 기하학과  기초상수의 한정적인 체계의 존재에서 일반적인 대수학적 이론을 증명한 P.Gordan의 이론을 적용해 1844-1851년 사이에 발표했다. 이 연구에서 가장 밀접한 관련이 있는 중요한 이론은 Cayley의 "6차 동차다항식에 관한 논문집"이다. 그것에서 Cayley는 상수이론의 독자적인 관점으로부터 기하학적 형태의 행렬특성을 어떻게 생각하는지 보여주었다. 이 이론은 기하학에서 혁신적인 변화를 가져오게된 F.Klein의 Erlangen Program의 근원중의 하나였다.

   그때, 선형대수학의 중요한 연구 업적은 1852년 Sylvester의 2차 정사각행렬형태의 관성법칙의 증명이었다. 즉, "모든 동차 2차정사각행렬은 실제로 직교행렬의 연구로 바구어 생각 할 수 있다" 이론의 증명을 제시했다. 그것은 Jacobi가 다소 먼저 보였지만 출간은 안했던 결과였다. 1858년 Cayley의 "행렬론 논문"이 발표되었다. 거기에서 Cayley는 대수학과 2차행렬 사이의 구체적인 대수관계를 소개했다. 이 이론은 대수학이론과 선형대수학 사이의 관계의 설명에 구조적 동질성을 확립했고, 후에 이것이 Matrix Algebra가 된다.

   16세기에 K.Weierstrass의 업적은 수학발전에 중요한 영향을 끼쳤다. 그는 Berlin 대학의 그의 강연에서 그의 연구결과를 발표했는데, 그의 1861년의 강연에서 Weierstrass는 대수학의 직접적 총체라는 개념을 소개하고, 원소가 없는 모든 상호적 대수학 (실수체계에 있어서) 이 실수계와 복소수계의 직접적 총체라는 것을 보여주었는데, 이는 대수학에 있어서는 최초의 분류결과중의 하나였다.

   16, 17세기에 대수학적 수이론의 주요 문제 중 하나는 원체계에서 일반적 대수학의 수체계론의 Kummer의 가분성 이론의 확장이었다. 이것은 E.I.Zolotarer, R.Dedekind, L.Kronecker 덕분에 세가지 다른 구조로 발전 했는데, 세 가지중 - 문제의 해결책으로써 대부분의 수학자들에 의해 받아들여졌던 이론은 - 1871년에 발표되된 "정수론에 관한 Dirichlet의 강의의 10번째 부록과 계속된 발행본의 11번째 부록"으로 이는 Dedekind의 이론이었다. Dedekind의 명확하고 대수학적으로 평이한 설명은 수학적 모델이 되었다. 이것과 다른 이론에 의해 Dedekind는 동 시대인 수학적 이론의 제시의 기초를 다졌다.

   대수학 발전을 조사하다 보면 신기하게 타원형 함수이론 (Gauss, Abel, Jacobi, Jordan, Weierstrass 그리고 많은 다른 수학자들이 많은 노력을 투자했던 19세기 수학의 발전에 중심역할을 한 분야인) 에는 닿을 수 없게 된다. 그 이유는 19세기에 이 이론은 주로 해석학으로 이어졌고, 특히 복잡하고 다양한 함수이론으로 이어졌기 때문이다.

   대수분야는 대수함수의 분야로 H.Weber와 이론을 함께하는데 역사적으로는 Dedekind의 방향에서 시작했다. 이것은 대수적 수와 대수함수의 이론사이의 깊은 유사점을 확립했고 이것은 또한 Field, Ring등의 개념의 추상적 정의에 대한 결정적인 단계였다. 개념은 대수함수 이론에서 대수적 수 이론에 이르기까지 반대방향으로 흘러가기 시작했다. 이것은 p-adic 행렬에 의해 p-adic 수와 위상수학을 소개하는 결과를 낳았다. 이것도 이미 20세기의 수학의 한 분야가 되었다.

    지금까지 언급된 개념, 방법, 이론의 발전은 지금 우리가 배우는 추상적인 "현대 대수학"과 "선형대수학"을 주었고 "대수기하학" 같은 새로운 대수분야의 시작이 되어 주었으며 공히 각분야는 현대수학의 일익을 담당하고 있다.

   (성대수학과 홍지영, 장은영역 - 이상구교수 편역 및 감수)       

위의 글을 읽고 현대수학의 각 분야중 하나를 선정하여 그 분야의 역사에 대한 보고서를 작성하시오.

제목 : 과거의 수학 발전을 참고하여 교육과 연구 또, 이론과 실제를 비교하며 미래의 수학을 생각하면?

(이상구교수)

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