Generalized Inverse of Matrix

  Generalized inverse는 여러 분야에서 다양하게 제기되어 각각 연구가 시작되었기 때문에 의미는 비슷해도 정의하는 방법은 다양하다. 각각의 정의에 따라 크게는 pseudo-inverse, effective inverse, conditional inverse, Moore-Penrose inverse, semi-inverse, Vagner inverse등으로 불린다.

• Unique Generalized inverse

Def. (Penrose 1955)

행렬 가 이면 행렬 가 의 유일한 generalized inverse일 필요충분조건은   가 다음  4가지 조건을 만족하는 것이다.

 1.

  2.

  3.

  4.

Def. (Moore, 1920, 1935)

행렬 가  일 때  행렬 가 의 유일한  generalized inverse일 필요충분조건은

  1.

     2.   

where 는 차원 공간의 벡터를 의 열공간으로  orthogonal projection하며,    는 차원 공간의 벡터를 의 행공간으로 orthogonal projection 한다.

   위의 두 정의는 동치이다.

Penrose의 조건을 만족하는 가 Moore의 조건을 만족하여 유일한 generalized inverse가 되므로 우리는 아래와 같이 Moore-Penrose inverse를 정의하고 그런   가 유일하게 존재함을 보이도록 하자.

정의:  모든   에 대해

     1.

      2.

 3.

    4.

     인 가 존재하며  이  를  의 Moore-penrose generalized  inverse라 한다.

정리 :  

                (우선  가 full rank인 경우를  생각하자.)

정리 :  If  이 full rank를 가지면,    (full row rank 경우)  or      (full col. rank 경우) 이다.

              이 증명은 Singular Value Decomposition을  이용할 것이다.

Lemma :   Let   where ,    

                    where  

                그러면 는  의 Moore-Penrose inverse 이다.   ( ie. )

       Pf)

Theorem.   If    , then  의 Moore-Penrose inverse,  

        Pf)  Let by SVD  ( 는 앞의 모양)

                and   (의 존재는 앞의 Lemma)

               [ Show ]

                 Pf)   는 Hermitian.

                        는 Hermitian.

               [Show uniqueness]

                 Pf) If  가 의 두  M-P. inverse라 하자.

                [Show ]

                  Pf)  

                      M-P inverse는 유일하게 존재한다.

Coro.    는    를 minimize 한다.

               (Note        iff      이   를 minimize.)

            Pf)

                     는    를    minimize 한다.

Lemma.  Let     then  

              Pf) 사실 되는 minimal  이  바로  의 rank가 된다.

                       ( 이것이 일반적인 rank의 정의)

                  Clearly  , WLOG  Assume    if    이면 minimality 조건에 모순이므로    임은 안다.                          개의 L.I.  col's of .

                 그것만으로  를 만든다.    는 의 col space의 basis를  form 하므로 의 모든 col은  의  col들의 L.C.으로                    유일하게 쓰여진다.  는 이런 계수들로 만든 행렬이다.   

                      그러면 이고  이며 이므로    이다.

                      (  이므로)

          (이것을 의   full rank decomposition이라 한다.)

Note :  이다.

Thm.  Let   ,

            where      

            then

     Pf)  우선 와 가 full rank 가지므로

           Note :        (이것이 key observation)

           [Show ]

(Moore-Penrose inverse의 성질)

Thm.

                   (a)

                   (b)

                   (c)

                   (d)   where 가 unitary.

                   (e)

              Pf)  (a)                           

                             이므로    이다.

                    (b) (idea : 를 이용하여  와에 대해 보이고  다음 에 대해 보인다.)

                          Let with

                            (Note : )

                          또 similarly.   

                      위의 사실을 이용하면

                   (c)  trivail : 4가지 조건을 check 하시오!!

                   (d) [Show ]   (4가지 조건 check!!)

                           Let    with

                                                    .

                            [ Show    ]

                                  pf)  LHS  

                             [ SHow  ]

                                    pf)  

                                         같은 방법으로  

                   (e) [Show ]   (4가지 조건 확인)

                          Pf)   

                         (f)  [Show ]

                              Pf)  

Exs.  :  Let    

              iff  

 이상과 같이 Moore-Penrose generalized invers 의 기본 성질에 대한 기본적인 중요 성질들을 학습하였다.

(이상구교수의 강의록 중)

  이상구교수의 읽고 보는 수학 자료실  (http://math.skku.ac.kr/~sglee)         

         ⓒ 2000 Prof. S.-G. Lee,  Dept. of Math  of  SungKyunKwan University