#9 평면 기하학과 벡터(Plane Geometry and Vectors)

 

  

Ⅰ.  서론

 연역과 추론은 과학자와 엔지니어가 되기 위해 또는 되었다 하더라도 자신의 능력을 개발하고 발휘하는 중요한 방법이다. 과거의 이론을 이해하고 새로운 이론을 만드는 것부터 문제의 요지를 이해하고 그 문제 푸는 과정에서, 정확하고 논리적인 순서는 중요하다. 역사적으로 사람들이 이런 연역이나 추론에 근거를 두는 내용이 바로 평면 기하학이다. 평면기하에서 어떠한 성질들을 증명하는 과정에서 사람들은 유용한 기하학을 배울 뿐만이 아니라 중요한 분석적 사고 능력도 개발해 온 것이다.

 

Ⅱ. 내용

 기하학을 다룰 때 우리가 배운 선형대수학의 기본적인 성질들만을 이용해서 평면 기하학의 기본적인 성질들도 증명할 수 있다. 여기서는 평면 기하학의 기본적인 사실들을 벡터를 이용하여 보여 줌으로써, 벡터의 개념을 더욱 구체적으로 이해하고 같은 수학적 대상을 보는 관점을 넓히는 것을 목표로 한다.

 

Ⅲ. 세부 내용

 여기서는 9개의 문제를 안의 벡터들을 그것의 성분 또는 좌표로 분해하지 않고(6b 제외하고는 (기하를 전혀 사용하지 않고) vector algebra만을 사용해서 증명하고자 한다.

          다음의 문제에서 는 벡터의 내적을 나타낸다.

 

1. 임의의 삼각형 에서 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변의 길이의 반이고 또한 평행하다.

 

 

 

2. 를 꼭지점으로 갖는 사각형이 있다고 하자.

선분의 중점을 순서대로 라 할 때,   을 이은 도형은 평행사변형임을 증명하시오.

 

(증명) 라 하자.

 

 

3. a. 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

 

(증명) 평행사변형에서 으로 두면, 로 이루어진 평행사변형의 대각선은 와  이다.

 

 

3. b. 평행사변형에서 두 대각선이 수직이라는 것은 네 변의 길이가 같다(즉, 마름모이다)는 것과 동치이다.

 

(증명) a에서 대각선 가 수직이다

                       

            

 

 

3. c. 대각선의 길이가 같다는 것은 평행사변형이 직사각형이라는 것과 동치이다.

 

(증명)

 

 

3. d. 가 벡터일 때 다음이 성립함을 보이고 또한 그 결과를 기하학적으로 설명하여라.

        

 

(증명)

                                            

                                           

            즉, 위의 식은 벡터 로 만들어진 평행사변형의 두 대각선의 제곱의 합은 네 변의 각각의 제곱의 합과 같다는 것을 의미한다.

 

 

 

4. a. 가 벡터일 때 임을 증명하시오. (참고 : Matrix Analysis, p.263, 문제 6번)

 

(증명)  

                                             

                                             

        .

 

 

4. b. a를 사용해서 평행사변형이 직사각형이라는 것은 대각선의 길이가 같다는 것과 동치라는 것을 보여라.

 

(증명) 벡터 로 만들어진 평행사변형의 대각선을 라 하면,

          이다.

 

 

5. 임의의 삼각형에서 각 변의 중점으로부터 그 반대편 꼭지점으로의 벡터들의 합은 이다.

 

(증명) 삼각형의 각 중점을 각각 라 두자. 라 하면,

 

 

6. a. 삼각형의 중선들은 한 점에서 만남을 증명해라.

 

(Hint) 라 하고, 의 각각의 중점이 만나는 점을 이라 하자.

 

 

6. b. 이 점을 삼각형의 무게 중심이라 한다. 만약 삼각형을 정의하는 세 점을이라 할 때 무게중심의 좌표는 임을 보여라.

 이 문제를 증명하기 위해 적어도 하나의 실제 좌표를 사용한 예를 들어라.

 

(증명) 의 중점은 이고, 무게중심은 꼭지점으로부터의 중선의 길이가 인 위치에 놓이므로,  무게중심 의 좌표는

(예) 세 꼭지점의 좌표가 인 직각삼각형의 무게중심은 이 된다.

 

 

7. 임의의 평행사변형 가 있다면, 에서 로의 중점에 선분을 이은 것과 대각선 와 만나는 점은 의 길이를 삼등분하는 하나의 점이 된다.

 

(증명) 라 하고 의 중점을 이라 하자.

              

                           (∵문제 6번)

                        

                        .

 

 

8. 삼각형의 수선은 한 점에서 만난다.

 

(Hint) 삼각형에서 라 하자. 그러면, 이다. 의 수선의 발을 각각 라 하면,

 

          ,

 

 

9. a. 벡터가 아닐 때, 인 벡터 와 벡터 가 직교하는 스칼라 가 존재함을 보여라. 그것은 라는 식으로 주어진다.   이 결과를 증명하기 위해 한가지 예를 들어라.

 

(증명)

      .

 

(예) 이고 이라 하자.

 

 

9. b. 가 평행사변형을 결정한다고 할 때, 를 기하학적으로 해석해라.

 

 (설명) 에서 위로 내린 수선이 된다. 즉, 가 만드는 평행사변형의 높이가 된다.

 

 

9. c. 위의 a, b를 이용해서   에 의해 만들어지는 평행사변형의 넓이를 로 나타내고 이 결과를 증명하기 위한 하나의 예를 들어라.

 

(풀이) (평행사변형의 넓이밑변높이)이기에 b로부터 이고  

 

 

(예) 두 벡터를 라 하자. 두 벡터 가 만드는 평행사변형의 면적은  이다.

 

Ⅳ. 결론

 평면 기하학은 좌표로 나타내어 그 성질들을 눈으로 쉽게 확인할 수 있다. 그러나, 차원이 높아지면서 눈으로 확인할 수 없기에 성질들을 증명하기 위해 새로운 도구를 사용해야 한다. 그 새로운 도구가 벡터가 될 수 있다. 여기서는 평면기하학을 벡터와 연관시킬 수 있었다. 벡터를 사용해서 보다  높은 차원에서의 기하학을 연구할 수 있다. project안의 내용들은 차원 공간으로 일반화시켜서 생각할 수 있다.  

 

   이상구교수의 읽고 보는 수학 자료실  (http://math.skku.ac.kr/~sglee)         

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         ⓒ 2000 Prof. S.-G. Lee,  Dept. of Math  of  SungKyunKwan University