#9 Æò¸é ±âÇÏÇаú º¤ÅÍ(Plane Geometry and Vectors)
¥°. ¼·Ð
¿¬¿ª°ú Ãß·ÐÀº °úÇÐÀÚ¿Í ¿£Áö´Ï¾î°¡ µÇ±â À§ÇØ ¶Ç´Â µÇ¾ú´Ù ÇÏ´õ¶óµµ ÀÚ½ÅÀÇ ´É·ÂÀ» °³¹ßÇÏ°í ¹ßÈÖÇÏ´Â Áß¿äÇÑ ¹æ¹ýÀÌ´Ù. °ú°ÅÀÇ ÀÌ·ÐÀ» ÀÌÇØÇÏ°í »õ·Î¿î ÀÌ·ÐÀ» ¸¸µå´Â °ÍºÎÅÍ ¹®Á¦ÀÇ ¿äÁö¸¦ ÀÌÇØÇÏ°í ±× ¹®Á¦ Ǫ´Â °úÁ¤¿¡¼, Á¤È®ÇÏ°í ³í¸®ÀûÀÎ ¼ø¼´Â Áß¿äÇÏ´Ù. ¿ª»çÀûÀ¸·Î »ç¶÷µéÀÌ ÀÌ·± ¿¬¿ªÀ̳ª Ã߷п¡ ±Ù°Å¸¦ µÎ´Â ³»¿ëÀÌ ¹Ù·Î Æò¸é ±âÇÏÇÐÀÌ´Ù. Æò¸é±âÇÏ¿¡¼ ¾î¶°ÇÑ ¼ºÁúµéÀ» Áõ¸íÇÏ´Â °úÁ¤¿¡¼ »ç¶÷µéÀº À¯¿ëÇÑ ±âÇÏÇÐÀ» ¹è¿ï »Ó¸¸ÀÌ ¾Æ´Ï¶ó Áß¿äÇÑ ºÐ¼®Àû »ç°í ´É·Âµµ °³¹ßÇØ ¿Â °ÍÀÌ´Ù.
¥±. ³»¿ë
±âÇÏÇÐÀ» ´Ù·ê ¶§ ¿ì¸®°¡ ¹è¿î ¼±Çü´ë¼öÇÐÀÇ ±âº»ÀûÀÎ ¼ºÁúµé¸¸À» ÀÌ¿ëÇؼ Æò¸é ±âÇÏÇÐÀÇ ±âº»ÀûÀÎ ¼ºÁúµéµµ Áõ¸íÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. ¿©±â¼´Â Æò¸é ±âÇÏÇÐÀÇ ±âº»ÀûÀÎ »ç½ÇµéÀ» º¤Å͸¦ ÀÌ¿ëÇÏ¿© º¸¿© ÁÜÀ¸·Î½á, º¤ÅÍÀÇ °³³äÀ» ´õ¿í ±¸Ã¼ÀûÀ¸·Î ÀÌÇØÇÏ°í °°Àº ¼öÇÐÀû ´ë»óÀ» º¸´Â °üÁ¡À» ³ÐÈ÷´Â °ÍÀ» ¸ñÇ¥·Î ÇÑ´Ù.
¥². ¼¼ºÎ ³»¿ë
¿©±â¼´Â 9°³ÀÇ ¹®Á¦¸¦ ¾ÈÀÇ º¤Å͵éÀ» ±×°ÍÀÇ ¼ººÐ ¶Ç´Â ÁÂÇ¥·Î ºÐÇØÇÏÁö ¾Ê°í(6b Á¦¿ÜÇÏ°í´Â (±âÇϸ¦ ÀüÇô »ç¿ëÇÏÁö ¾Ê°í) vector algebra¸¸À» »ç¿ëÇؼ Áõ¸íÇÏ°íÀÚ ÇÑ´Ù.
´ÙÀ½ÀÇ ¹®Á¦¿¡¼ ´Â º¤ÅÍÀÇ ³»ÀûÀ» ³ªÅ¸³½´Ù.
1. ÀÓÀÇÀÇ »ï°¢Çü ¿¡¼ µÎ º¯ÀÇ ÁßÁ¡À» ÀÌÀº ¼±ºÐÀº ³ª¸ÓÁö ÇÑ º¯ÀÇ ±æÀÌÀÇ ¹ÝÀÌ°í ¶ÇÇÑ ÆòÇàÇÏ´Ù.
(Áõ¸í) »ï°¢Çü¿¡¼ ¶ó ÇÏ°í, ÀÇ ÁßÁ¡À» , ÀÇ ÁßÁ¡À» ¶ó Çϸé, ·Î Ç¥ÇöÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.
À̱⠶§¹®¿¡, ÀÌ´Ù.
±×·¯¹Ç·Î, ´Â ¿¡ ÆòÇàÇÏ°í ÀÌ´Ù.
2. ¸¦ ²ÀÁöÁ¡À¸·Î °®´Â »ç°¢ÇüÀÌ ÀÖ´Ù°í ÇÏÀÚ.
¼±ºÐÀÇ ÁßÁ¡À» ¼ø¼´ë·Î ¶ó ÇÒ ¶§, À» ÀÌÀº µµÇüÀº ÆòÇà»çº¯ÇüÀÓÀ» Áõ¸íÇϽÿÀ.
(Áõ¸í) ¶ó ÇÏÀÚ.
±×·¯¸é, ÀÌ´Ù.
¶ÇÇÑ,ÀÌ´Ù.
À̹ǷÎ, ¿Í ´Â ÆòÇàÇÏ°í ±æÀÌ°¡ °°´Ù. ±×·¯¹Ç·Î, ´Â ÆòÇà»çº¯Çü ÀÌ´Ù.
3. a. ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ µÎ ´ë°¢¼±Àº ¼·Î ´Ù¸¥ ´ë°¢¼±À» À̵îºÐÇÑ´Ù.
(Áõ¸í) ÆòÇà»çº¯Çü¿¡¼ À¸·Î µÎ¸é, ¿Í ·Î ÀÌ·ç¾îÁø ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ ´ë°¢¼±Àº ¿Í ÀÌ´Ù.
¿Í ´Â ¼·Î µ¶¸³À̹ǷΠÇÑ Á¡¿¡¼ ¸¸³´Ù.
µÎ ´ë°¢¼±ÀÇ ±³Á¡À» À̶ó ÇÏ°í, ¶ó µÎÀÚ. ±×·¯¸é ¾î¶² »ó¼ö ¿Í ¿¡ ´ëÇÏ¿© ÀÌ°í ÀÌ ´Ù.
À̱⠶§¹®¿¡ .
Áï, .
¿Í ÀÌ ÆòÇà»çº¯ÇüÀ» ÀÌ·ç¹Ç·Î ¿Í ´Â ¼·Î µ¶¸³ÀÌ´Ù.
±×·¡¼ ÀÌ°í, .
Áï, ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ µÎ ´ë°¢¼±Àº ¼·Î ´Ù¸¥ ´ë°¢¼±À» À̵îºÐÇÑ´Ù.
3. b. ÆòÇà»çº¯Çü¿¡¼ µÎ ´ë°¢¼±ÀÌ ¼öÁ÷À̶ó´Â °ÍÀº ³× º¯ÀÇ ±æÀÌ°¡ °°´Ù(Áï, ¸¶¸§¸ðÀÌ´Ù)´Â °Í°ú µ¿Ä¡ÀÌ´Ù.
(Áõ¸í) a¿¡¼ ´ë°¢¼± ¿Í °¡ ¼öÁ÷ÀÌ´Ù
3. c. ´ë°¢¼±ÀÇ ±æÀÌ°¡ °°´Ù´Â °ÍÀº ÆòÇà»çº¯ÇüÀÌ Á÷»ç°¢ÇüÀ̶ó´Â °Í°ú µ¿Ä¡ÀÌ´Ù.
(Áõ¸í)
ÆòÇà»çº¯ÇüÀº Á÷»ç°¢ÇüÀÌ´Ù.
3. d. ¿Í °¡ º¤ÅÍÀÏ ¶§ ´ÙÀ½ÀÌ ¼º¸³ÇÔÀ» º¸ÀÌ°í ¶ÇÇÑ ±× °á°ú¸¦ ±âÇÏÇÐÀûÀ¸·Î ¼³¸íÇÏ¿©¶ó.
(Áõ¸í)
Áï, À§ÀÇ ½ÄÀº º¤ÅÍ ¿Í ·Î ¸¸µé¾îÁø ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ µÎ ´ë°¢¼±ÀÇ Á¦°öÀÇ ÇÕÀº ³× º¯ÀÇ °¢°¢ÀÇ Á¦°öÀÇ ÇÕ°ú °°´Ù´Â °ÍÀ» ÀǹÌÇÑ´Ù.
4. a. ¿Í °¡ º¤ÅÍÀÏ ¶§ ÀÓÀ» Áõ¸íÇϽÿÀ. (Âü°í : Matrix Analysis, p.263, ¹®Á¦ 6¹ø)
(Áõ¸í)
.
4. b. a¸¦ »ç¿ëÇؼ ÆòÇà»çº¯ÇüÀÌ Á÷»ç°¢ÇüÀ̶ó´Â °ÍÀº ´ë°¢¼±ÀÇ ±æÀÌ°¡ °°´Ù´Â °Í°ú µ¿Ä¡¶ó´Â °ÍÀ» º¸¿©¶ó.
(Áõ¸í) º¤ÅÍ ¿Í ·Î ¸¸µé¾îÁø ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ ´ë°¢¼±À» ¶ó Çϸé,
ÀÌ´Ù.
ÆòÇà»çº¯ÇüÀÌ Á÷»ç°¢ÇüÀÌ´Ù.
¿Í °¡ ¼öÁ÷ÀÌ´Ù
.
5. ÀÓÀÇÀÇ »ï°¢Çü¿¡¼ °¢ º¯ÀÇ ÁßÁ¡À¸·ÎºÎÅÍ ±× ¹Ý´ëÆí ²ÀÁöÁ¡À¸·ÎÀÇ º¤Å͵éÀÇ ÇÕÀº ÀÌ´Ù.
(Áõ¸í) »ï°¢ÇüÀÇ °¢ ÁßÁ¡À» °¢°¢ ¶ó µÎÀÚ. ¶ó Çϸé,
±×·¯¸é,
6. a. »ï°¢ÇüÀÇ Áß¼±µéÀº ÇÑ Á¡¿¡¼ ¸¸³²À» Áõ¸íÇضó.
(Hint) ¶ó ÇÏ°í, ¿Í ÀÇ °¢°¢ÀÇ ÁßÁ¡ÀÌ ¸¸³ª´Â Á¡À» À̶ó ÇÏÀÚ.
¶ÇÇÑ, ¶ó Çϸé, ÀÌ°í
ÀÌ´Ù.
¿ì¸®´Â ¸¦ º¸ÀÌ¸é µÈ´Ù. Áï, ¿ì¸®´Â ¿¡ ´ëÇÑ Á¤º¸°¡ ÇÊ¿äÇÏ´Ù.
6. b. ÀÌ Á¡À» »ï°¢ÇüÀÇ ¹«°Ô Áß½ÉÀ̶ó ÇÑ´Ù. ¸¸¾à »ï°¢ÇüÀ» Á¤ÀÇÇÏ´Â ¼¼ Á¡À»À̶ó ÇÒ ¶§ ¹«°ÔÁß½ÉÀÇ ÁÂÇ¥´Â ÀÓÀ» º¸¿©¶ó.
ÀÌ ¹®Á¦¸¦ Áõ¸íÇϱâ À§ÇØ Àû¾îµµ ÇϳªÀÇ ½ÇÁ¦ ÁÂÇ¥¸¦ »ç¿ëÇÑ ¿¹¸¦ µé¾î¶ó.
(Áõ¸í) ¿Í ÀÇ ÁßÁ¡Àº ÀÌ°í, ¹«°ÔÁß½ÉÀº ²ÀÁöÁ¡À¸·ÎºÎÅÍÀÇ Áß¼±ÀÇ ±æÀÌ°¡ ÀÎ À§Ä¡¿¡ ³õÀ̹ǷÎ, ¹«°ÔÁ᫐ ÀÇ ÁÂÇ¥´Â
ÀÌ´Ù.
(¿¹) ¼¼ ²ÀÁöÁ¡ÀÇ ÁÂÇ¥°¡ ÀÎ Á÷°¢»ï°¢ÇüÀÇ ¹«°ÔÁß½ÉÀº ÀÌ µÈ´Ù.
7. ÀÓÀÇÀÇ ÆòÇà»çº¯Çü °¡ ÀÖ´Ù¸é, ¿¡¼ ·ÎÀÇ ÁßÁ¡¿¡ ¼±ºÐÀ» ÀÌÀº °Í°ú ´ë°¢¼± ¿Í ¸¸³ª´Â Á¡Àº ÀÇ ±æÀ̸¦ »ïµîºÐÇÏ´Â ÇϳªÀÇ Á¡ÀÌ µÈ´Ù.
(Áõ¸í) ¶ó ÇÏ°í ÀÇ ÁßÁ¡À» À̶ó ÇÏÀÚ.
±×·¯¸é,ÀÌ´Ù.
°ú ÀÇ ±³Á¡À» ¶ó Çϸé
(¡ñ¹®Á¦ 6¹ø)
.
8. »ï°¢ÇüÀÇ ¼ö¼±Àº ÇÑ Á¡¿¡¼ ¸¸³´Ù.
(Hint) »ï°¢Çü¿¡¼ ¶ó ÇÏÀÚ. ±×·¯¸é, ÀÌ´Ù. ÀÇ ¼ö¼±ÀÇ ¹ßÀ» °¢°¢ ¶ó Çϸé,
¾î¶² »ó¼ö ¿¡ ´ëÇؼ,
,
À¸·Î ³ªÅ¸³¾ ¼ö ÀÖ´Ù.
±×·¯¸é,ÀÌ´Ù.
¿Í °¡ ÇÑ Á¡¿¡¼ ¸¸³´Ù´Â °ÍÀ» º¸ÀÌ´Â °ÍÀº ¾î¶² »ó¼ö ¿Í ¿¡ ´ëÇØ ÀÓÀ» º¸ÀÌ¸é µÈ´Ù. ¿ì¸®´Â ¾î¶² »ó¼ö ¿Í ¿¡ ´ëÇÑ Á¤º¸¸¦ ÇÊ¿ä·Î ÇÑ´Ù.
9. a. °¡ º¤ÅÍ°¡ ¾Æ´Ò ¶§, ÀÎ º¤ÅÍ ¿Í º¤ÅÍ °¡ Á÷±³ÇÏ´Â ½ºÄ®¶ó °¡ Á¸ÀçÇÔÀ» º¸¿©¶ó. ±×°ÍÀº ¶ó´Â ½ÄÀ¸·Î ÁÖ¾îÁø´Ù. ÀÌ °á°ú¸¦ Áõ¸íÇϱâ À§ÇØ ÇÑ°¡Áö ¿¹¸¦ µé¾î¶ó.
(Áõ¸í)
.
(¿¹) ÀÌ°í À̶ó ÇÏÀÚ.
±×·¯¸é, ÀÌ°í ÀÌ´Ù.
±×·¯¹Ç·Î, ÀÌ´Ù.
9. b. ¿Í °¡ ÆòÇà»çº¯ÇüÀ» °áÁ¤ÇÑ´Ù°í ÇÒ ¶§, ¸¦ ±âÇÏÇÐÀûÀ¸·Î Çؼ®Çضó.
(¼³¸í) ´Â ¿¡¼ À§·Î ³»¸° ¼ö¼±ÀÌ µÈ´Ù. Áï, ¿Í °¡ ¸¸µå´Â ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ ³ôÀÌ°¡ µÈ´Ù.
9. c. À§ÀÇ a, b¸¦ ÀÌ¿ëÇؼ ¿Í ¿¡ ÀÇÇØ ¸¸µé¾îÁö´Â ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ ³ÐÀ̸¦ ¿Í ·Î ³ªÅ¸³»°í ÀÌ °á°ú¸¦ Áõ¸íÇϱâ À§ÇÑ ÇϳªÀÇ ¿¹¸¦ µé¾î¶ó.
(Ç®ÀÌ) (ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ ³ÐÀ̹غ¯³ôÀÌ)À̱⿡ b·ÎºÎÅÍ ÀÌ°í
ÀÌ´Ù.
±×·¯¹Ç·Î,
ÀÌ´Ù.
¿©±â¼ ´Â ¿Í »çÀÌÀÇ °¢ÀÌ´Ù.
±×·¯¹Ç·Î, ÀÌ´Ù.
(¿¹) µÎ º¤Å͸¦ ¶ó ÇÏÀÚ. µÎ º¤ÅÍ °¡ ¸¸µå´Â ÆòÇà»çº¯ÇüÀÇ ¸éÀûÀº ÀÌ´Ù.
¥³. °á·Ð
Æò¸é ±âÇÏÇÐÀº ÁÂÇ¥·Î ³ªÅ¸³»¾î ±× ¼ºÁúµéÀ» ´«À¸·Î ½±°Ô È®ÀÎÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. ±×·¯³ª, Â÷¿øÀÌ ³ô¾ÆÁö¸é¼ ´«À¸·Î È®ÀÎÇÒ ¼ö ¾ø±â¿¡ ¼ºÁúµéÀ» Áõ¸íÇϱâ À§ÇØ »õ·Î¿î µµ±¸¸¦ »ç¿ëÇØ¾ß ÇÑ´Ù. ±× »õ·Î¿î µµ±¸°¡ º¤ÅÍ°¡ µÉ ¼ö ÀÖ´Ù. ¿©±â¼´Â Æò¸é±âÇÏÇÐÀ» º¤ÅÍ¿Í ¿¬°ü½Ãų ¼ö ÀÖ¾ú´Ù. º¤Å͸¦ »ç¿ëÇؼ º¸´Ù ³ôÀº Â÷¿ø¿¡¼ÀÇ ±âÇÏÇÐÀ» ¿¬±¸ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. project¾ÈÀÇ ³»¿ëµéÀº Â÷¿ø °ø°£À¸·Î ÀϹÝȽÃÄѼ »ý°¢ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.
À̻󱸱³¼öÀÇ ÀÐ°í º¸´Â ¼öÇÐ ÀÚ·á½Ç (http://math.skku.ac.kr/~sglee)
¨Ï 2000 Prof. S.-G. Lee, Dept. of Math of SungKyunKwan University