2. 황금분할(Phi)는 무엇인가?

 

황금비율(1·618034)는 황금분할 혹은 황금수라 불린다. 또한 종종 그리스 문자 Phi() 로 표현된다.
의 가장 근접한 값은 Phi()의 소수점 자리수 즉, 0·618034이다.


<<Phi의 간단한 정의>>

Phi에 대한 일반적인 정의로 주어진 숫자에 1을 더해서 제곱을 한 수를 생각할 수 있다. 이것을 좀 더 수학적으로 표시하면, 인데, 이 수식엔 두 개의 수를 내포하고 있다. 하나는 Phi이고, 다른 하나는 소수점 자리만 생각했을 때 Phi와 밀접한 관련을 맺는 수이다.

즉 Phi는 1.6180339887.....그리고 -0.6180339887.... 로써, 이 두 숫자의 소수자리부분이 같음을 알 수 있다. 처음의 값을 Phi라하고, 두 번째 값을 -phi라고 하면, 다음의 간단한 식을 얻을 수 있다.

 


<<Phi와 피보나치수>>

피보나치수열에서 연속되는 두 수의 비율의 생각해보자. (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..)

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1·5, 5/3 = 1·666..., 8/5 = 1·6, 13/8 = 1·625, 21/13 = 1·61538...








 

 





즉 연속적인 피보나치 수열의 비율이 점점 Phi에 가까워짐을 확인할 수 있다. 그렇다면 비율이 왜 정확히 Phi로 근접해 가는 것일까? 피보나치 관계식을 생각해보자.

F(i+2)=F(i+1)+F(i) ·····(1)

F(i+1)/F(i) 즉, 증가비율을 X라고 하자. 그렇다면 위의 그래프에서 보여지듯이 매우 큰 I에 대하여 F(i)와F(i+1)의 비율은 F(i+1)와F(i+2)과 같은 값을 가지게 된다. 따라서

 

이식은 Phi를 정의할 때의 식과 동일함을 알 수 있다.

따라서 정확히 Phi로 근접해 감을 알 수 있다.