3.자연 속에 나타나는 피보나치수열

<<해바라기꽃의 씨앗>>

해바라꽃의 씨앗은 독특한 방식으로 피보나치수열을 이루고 있다.

이는 두 가지 방향으로 나선을 형성하고 있는데, 시계방향으로는 21개, 반시계방향으로는 34개임을 알 수 있다.

(21과 34는 서로 피보나치수열에서 서로 이웃하는 숫자이다. 12/34=0.618)

이 보다 더 큰 잎의 해바라기의 경우도 마찬가지로 피보나치수열의 값을 이루며 중간에 밀집되거나 가장자리 부분에 엉성함 없이 균일하게 씨앗이 배열되어 있음을 알 수 있다.

그렇다면 왜 씨앗들은 피보나치수열을 이루는 것일까? 이것의 해답은 packing-불필요한 부분을 최소로 하면서 배열하는 것-에 있다.

두 개의 방향으로 뻗어나가는 비율을 Phi가 아닌 다른 수로 생각해보자.

먼저 0.5=1/2의 경우, 1회전할 때 2개의 씨앗이 생기게 되므로 씨앗의 모양은 긴 직선상에 산만하게 놓이게된다.

다음으로 0.48=12/25의 경우, 이것은 0.5보다 조금 작지만 매우 가까운 값이므로 직선을 중심으로 회전하는 듯한 팔랑개비모양을 하게 된다.

0.6=3/5의 경우는 어떠한가? 즉 3번 회전할 때마다 정확히 5개의 씨앗이 놓여진다.

따라서 6번째 씨앗은 첫 번째와 같은 각도로 놓이게 된다.

이 경우 씨앗의 분포가 균등하지는 않지만 5개의 축을 중심으로 배열됨을 알 수 있다.(1.6 , 2.6 , 3.6 또한 같은 결과를 얻을 것이다.)

<<식물의 잎>>

식물을 위에서 내려다보면, 위쪽에서 자라는 잎이 아래쪽의 잎을 가리지 않으며 배열됨을 알 수 있다.

이것은 더 많은 햇빛을 받고, 줄기를 통해 뿌리로 내려가는 동안 잎에서 많은 빗물을 얻기 위해서이다.

식물의 잎의 형태는 크게 2가지로 분류한다.

1) 줄기의 각 마디에 잎이 1장씩 나는 어긋나기(호생)

이 경우 잎이 줄기의 둘레에 나선상으로 돌기 때문에 '나선잎차례'라고도 하며 굳이 2장에 한정될 필요는 없다.

2) 줄기에 2장씩 잎이 돌려나는 경우는 돌려나기(윤생)이라고 한다. 특히 잎이 2장씩 나는 돌려나기를 마주나기(대생)이라고 한다.

가장 흔한 잎차례인 어긋나기(호생)의 경우 줄기를 중심으로 나는 2개의 잎사이에 일정한 각도를 유지하고 있다(개도).

하지만 이러한 잎차례에 어떠한 수가 허용되는 것이 아닌 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, …형태의 수열이 가장 많은 것을 관찰 할 수 있다.

처음의 잎이 정확히 바로 위에 보일 때까지 식물의 줄기를 따라 몇 번 회전을 했으며 식물의 잎은 몇 개인지 세어보자.

반대방향으로 세어보면 잎의 개수는 같지만 회전의 수는 다름을 알 수 있다.

각각의 방향으로 회전한 숫자와 잎의 숫자는 연속적인 세 개의 피보나치수를 이루고 있다.

그림의 위쪽 식물은 6번 째 잎에서(5개의 잎을 지남) 완전히 한바퀴 돌아 본래의 위치로 돌아왔다.

이 때 시계방향으로는 3번 반 시계방향으로는 2번을 회전하였다.

즉 시계방향으로는 3/5 잎차례, 반 시계방향으로는 2/5잎차례임을 알 수 있다.

아래의 식물은 경우, 8개의 잎을 지나 9번째 잎에서 처음의 위치로 돌아왔으며, 시계방향으로는 5번 반 시계방향으로는 3번 회전하였다.

위와 마찬가지로 시계방향으로는 5/8 잎차례, 반 시계방향으로는 3/8잎차례임을 알 수 있다.

이 수열 또한 앞의 두 항의 분모의 합을 분모로 하고 분자의 합을 분자로 취하는 관계가 성립한다.

이 수열을 피보나치수열과 비교해 보자.

나선잎차례 1/2,1/3,2/5,3/8,5/13...

피보나치수 1/1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13...

1/1을 제외하고는 각 항의 합이 1임을 확인할 수 있다.

즉 나선잎차례는 반 시계방향으로 나타낸 것이고 피보나치수열은 시계방향으로 나타낸 것이다.

또한 나선잎차례에 의해 계산되는 개도는 점차 극한개도 137.5° 로 가까워짐을 알 수 있다.

(자연 속의 phi값 알아보기)

그렇다면 잎차례가 피보나치 수열을 이루고 있는 이유는 무엇일까?

나선잎차례가 1/2이라고 하면 3번째 잎이 첫 번째 잎의 바로 아래 놓이게 된다.

이것은 매우 비효율적인 배치로 하단의 잎은 상단잎에 완전히 가려져 버리게 된다.

이번엔 3/5의 경우를 생각해 보자. 이 때는6번째 잎에서 처음의 위치로 돌아오므로 위의 경우보다는 효율적이지만 최적의 상태는 아니다.

이렇게 계속적인 소수점 값을 줌으로써 효율을 올릴 수 있다.

따라서 무리수의 값을 갖는 것이 가장 효율적이다. 대표적인 개도를 그림을 통해 알아보자.

135°의 경우 위에서 내려다 봤을 때 나선형으로 빗겨나가며 위의 잎이 아래 잎의 햇볕 가림을 피하는 것을 확인할 수 있다. 또한 137°에서 그 효율이 최대로 된다.

<<앵무조개-등각나선>>

먼저 간단한 황금분할을 생각해보자.

길이가 1인 정사각형에 또 하나의 길이가 1인 정사각형을 붙인다. (가로:세로=1:2)

여기에 다시 길이 2의 정사각형을 붙인다. (가로:세로=3:2)

다시 길이 3의 정사각형을 붙이면 가로 세로의 비가 5:3이 된다.

이렇게 계속 덧붙여지는 길이는 피보나치수열을 이루며 가로 세로의 비율은 Phi로 근접해 감을 알 수 있다.

이것이 황금분할이다.

이 그래프를 통해 보면, 8번째 사각형을 붙이면 두 변 사이의 비율이 거의 일정함을 유지하며 황금비로 수렴함을 알 수 있다.

이 피보나치수열이 만들어내는 것이 등각나선-회전수에 관계없이 접선의 각 항상 일정-이다.

<등각나선의 시각적 이해>

이 등각나선의 큰 특징은 점 p에서 나선에 그은 접선과 반경벡터가 이루는 각이 항상 일정하다는 것이다. 또한 반경벡터 r(OP)의 등비수열적 증가( )는 등각나선이 만들어내는 결과이기도 하다. 이를 통해 등각나선은 반경벡터와 각도간(상수각a, 회전각θ)의 관계식으로 유도됨을 알 수 있다.

<유도과정>

그렇다면 반경벡터 또는 폭간에는 와 같은 관계가 성립한다.

여기서 한 쪽은 반경을 1이라 하자.

여기서 θ는 두 나선간의 위상차이다.

이 값은 어떤 값이든 무방하지만 의 위상차를 갖는 경우가 간단하고 직관적 이해가 빠를 것이다.

,양변에 log를 취하면,

이다. 따라서 각 나선간의 반경의 차이를 알아낸다면 상수각 a의 값을 구할 수 있다.

앵무조개의 경우, 나선간의 폭의 차이는 3이므로 상수각인 약 80도 정도라는 것을 알 수 있다. 또한 로그표를 통해 이에 해당하는 a값을 찾으면 대략 80도가 나오는 것을 알 수 있다.

앵무조개처럼 나선으로 돌돌말려 성장하는 연체동물의 종류는 대부분 상수각 a가 80도와 85도 사이에 있다.

만약 80도보다 작아지면 r의 값이 커져 나선으로써의 모양을 잃게 된다.

앵무조개뿐만 아니라 대합의 성장 또한 등각나선에 기초를 두고 있다.

하지만 대합의 경우 상수각 a가 작아서 나선의 형태를 보이기 전에 성장이 멈추고 만다.

우리가 나선의 형태를 보기 위해 조개가 무한대로 자라는 것도 아니지 않는가...??^^