5.피보나치와 눈

-눈의 결정체

<<Phi와 기하학적 관계(3면체)>>

8면체

8면체의 각면의 모서리의 길이는이다.

각 꼭지점들의 좌표는

(1, 0, 0), (-1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, -1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, -1)이다.

8면체는 6개의 꼭지점, 12개의 모서리, 8개의 면으로 이루어져 있다.

 

<다른각도에서 본 모양>

 

 

12면체

 


20개의 꼭지점, 30개의 모서리, 12개의 면으로 구성되어 있다.

길이가 2/Phi인 12면체의 꼭지점들의 좌표는

(0, phi, Phi), (0, phi, -Phi), (0, -phi, Phi), (0, -phi, -Phi),

(Phi, 0, phi), (Phi, 0, -phi), (-Phi, 0, phi), (-Phi, 0, -phi),

(phi, Phi, 0), (phi, -Phi, 0), (-phi, Phi, 0), (-phi, -Phi, 0),

( 1, 1, 1), ( 1, 1, -1), ( 1, -1, 1), ( 1, -1, -1), ( -1, 1, 1),

(-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)이다.


Phi=1·61803.. 그리고 phi=1/Phi=Phi-1 = 0·61803

 

<다른각도에서 본 모양>

 


20면체

 

12개의 꼭지점, 30개의 모서리, 20개의 면으로 이루어져 있다.


길이가 2인 20면체의 꼭지점의 좌표는,

(0, 1, Phi), (0, -1, Phi), (0, 1, -Phi), (0, -1, -Phi),

(Phi, 0, 1), (Phi, 0, -1), (-Phi, 0, 1), (-Phi, 0, -1),

(1, Phi, 0), (1, -Phi, 0), (-1, Phi, 0), (-1, -Phi, 0)이다.


Phi는 황금비율 1.61803....

 

<다른각도에서 본 모양>

 

<<12면체와 20면체의 관계>>

 

12면체와 20면체 사이에는 중요한 관계가 있다.

첫째, 12면체의 각 면의 중심점은 20면체의 꼭지점을 만들며, 20면체의 각면의 중심점은 12면체의 꼭지점을 만든다.

즉 12면체의 면의 수는 20면체의 꼭지점의 수와 같다. 이것을 "The Dual of a Solid "라고 한다.

12면체의 각 면의 중심점들을 연결시키면, 각각의 수직관계에 있는 것들은 세 개의 삼각형을 이룬다.

이들은 12면체의 면의 길이와 20면체의 면의 길이의 비가 1:Phi이므로 황금비율을 이룬다.

따라서 위의 사각형(golden rectangle)에 의하여, 좌표계에서 20면체의 각 꼭지점들은

(0,± 1, ± phi), (± phi, 0, ± 1), (± 1, ± phi, 0) 로 나타남을 알 수 있다.

 

황금 분할에 대한 기하학적 사실(12면체, 20면체)에 비추어 눈의 결정체의 모양 역시 황금비율과 관계해서 생성됨을 알 수있다.

<<자바와 피보나치 점>>

피보나치 수열을 이루는 점들 찾아보기(방법)

임의의 세 점으로부터 시작한다.

먼저, 세 점을 빨강, 노랑, 파랑이라고 놓는다.

n=1 일때 빨, 노, 파(3X1), n=2 일때는 각각의 점에서 뻗어나간 세 점(빨강+파랑=보라, 노랑+파랑=녹색, 빨강+노랑=주황, 3X1)을 만든다. n=3 일때는 다시 생성된 각각의 점들에서 다시 6개(3x2)의 또 다른 점이 생긴다. 이러한 방법의로 n=16일 때 까지의 점들은 중심에서 부터 피보나치 수열을 이루며 (1,1,2,3,....) 생성된다.

그렇다면 이제는 세점으로 부터 생성되는 점들이 어떻게 황금분할을 형성해 가는지 자바(n=1~16)를 통해 시각적 이해를 돕고자 한다.

여기에서 n이 작은 값(4~5)일때 눈의 결정모양을 갖는다.

<<자바>>